Question

Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7. Если же разделить это число на разность его цифр, то в частном получится 11, а в остатке 5. Найди это число. Помогите, пожалуйста!

Answer 1

Двузначное число $\overline{xy}=10\cdot x+y$

Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7

$10\cdot x+y=8(x+y)+7$

Если же разделить это число на разность его цифр, то в частном получится 11, а в остатке 5.

$10\cdot x+y=11(x-y)+5$

Решаем систему уравнений:

$\left \{ {{10\cdot x+y=8(x+y)+7} \atop {10\cdot x+y=11(x-y)+5}} \right.$   $\Rightarrow \left \{ {{10x+y=8x+8y+7} \atop {10x+y=11x-11y+5}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2x-7y-7=0} \atop {x-12y+5=0}} \right.$

Умножаем второе уравнение на (-2)

$\left \{ {{2x-7y-7=0} \atop {-2x+24y-10=0}} \right.$

Складываем (вместо первого уравнения - сумма ; вместо второго  - любое, в том числе и те,  которые были первоначально)

$\left \{ {{17y-17=0} \atop {x-12y+5=0}} \right.$

$\left \{ {{y=1} \atop {x-12+5=0}} \right.$

$\left \{ {{y=1} \atop {x=7}} \right.$

О т в е т. 71

Answer 2

Давайте решим данную задачу.

Пусть двузначное число, которое мы ищем, будет обозначено как AB, где A и B - цифры числа.

Первое условие говорит нам, что если мы разделим число AB на сумму его цифр (A + B), то в частном получится 8, а в остатке 7. Это можно записать следующим образом:

AB / (A + B) = 8 с остатком 7

Второе условие говорит нам, что если мы разделим число AB на разность его цифр (A - B), то в частном получится 11, а в остатке 5. Это можно записать следующим образом:

AB / (A - B) = 11 с остатком 5

Теперь давайте решим эти два уравнения.

Решение первого уравнения

AB / (A + B) = 8 с остатком 7

Мы можем представить число AB как 10A + B (так как A - это десятки, а B - это единицы). Теперь мы можем переписать уравнение:

(10A + B) / (A + B) = 8 с остатком 7

Мы можем умножить оба выражения на (A + B), чтобы избавиться от знаменателя:

10A + B = 8(A + B) + 7

Раскроем скобки:

10A + B = 8A + 8B + 7

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

10A - 8A = 8B + 7 - B

2A = 7B + 7

Выражение справа от знака равенства делится на 7:

2A = 7(B + 1)

Так как число AB - это двузначное число, то A и B должны быть целыми числами от 1 до 9. Мы можем перебрать возможные значения B и найти соответствующие значения A:

B = 1: 2A = 7(1 + 1) => 2A = 14 => A = 7 (не удовлетворяет условию, так как A и B не могут быть одинаковыми)

B = 2: 2A = 7(2 + 1) => 2A = 21 => A = 10.5 (не является целым числом)

B = 3: 2A = 7(3 + 1) => 2A = 28 => A = 14 (не удовлетворяет условию, так как A и B не могут быть одинаковыми)

B = 4: 2A = 7(4 + 1) => 2A = 35 => A = 17.5 (не является целым числом)

B = 5: 2A = 7(5 + 1) => 2A = 42 => A = 21 (не удовлетворяет условию, так как A и B не могут быть одинаковыми)

B = 6: 2A = 7(6 + 1) => 2A = 49 => A = 24.5 (не является целым числом)

B = 7: 2A = 7(7 + 1) => 2A = 56 => A = 28

B = 8: 2A = 7(8 + 1) => 2A = 63 => A = 31.5 (не является целым числом)

B = 9: 2A = 7(9 + 1) => 2A = 70 => A = 35

Таким образом, мы получили два возможных значения для числа AB: 28 и 35.

Решение второго уравнения

AB / (A - B) = 11 с остатком 5

Мы можем использовать тот же подход, что и в первом уравнении:

(10A + B) / (A - B) = 11 с остатком 5

(10A + B) = 11(A - B) + 5

Раскроем скобки:

10A + B = 11A - 11B + 5

Сгруппируем подобные слагаемые:

10A - 11A = 5 - B

-A = 5 - B

A = B - 5

Так как A и B должны быть целыми числами от 1 до 9, мы можем перебрать возможные значения B и найти соответствующие значения A:

B = 1: A = 1 - 5 = -4 (не является целым числом)

B = 2: A = 2 - 5 = -3 (не является целым числом)

B = 3: A = 3 - 5 = -2 (не является целым числом)

B = 4: A = 4 - 5 = -1 (не является целым числом)

B = 5: A = 5 - 5 = 0 (не удовлетворяет условию, так как A и B не могут быть одинаковыми)

B = 6: A = 6 - 5 = 1

B = 7: A = 7 - 5 = 2

B = 8: A = 8 - 5 = 3

B = 9: A = 9 - 5 = 4

Таким образом, мы получили еще четыре возможных значения для числа AB: 16, 27, 38 и 49.

Ответ

Итак, у нас есть шесть возможных значений для числа AB: 28, 35, 16, 27, 38 и 49.