Question

Доведіть, що (4-a)(a+2)<2(21-4a) при всіх дійсних значеннях a

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(4-a)(a+2)=4а+8-а²-2а=-а²-2а+8 це парабола обернута до низу

знайдемо її максимум. Візьмемо похідну та    = 0

(-а²-2а+8)'=-2а-2=0 ⇒ а=-1 найбільше значення

Підставимо а=-1 у другий вираз

2(21-4a)=42-8*(-1)=50  

якщо зробити графік побачимо, що ці графікі не перетинаються і рівняння виконується при всіх дійсних значеннях a

Answer 2

Для доведення даної нерівності розкриємо дужки і спростимо вирази:

(4 - a)(a + 2) < 2(21 - 4a)

Розкриємо дужки:

4a + 8 - a^2 - 2a < 42 - 8a

Поміняємо місцями члени рівності, щоб привести до стандартної форми:

0 < a^2 - 6a + 34

Тепер доведемо, що цей квадратний тричлен завжди більше нуля.

Зауважимо, що цей квадратний тричлен має дискримінант D = (-6)^2 - 4(1)(34) = 36 - 136 = -100. Дискримінант від'ємний, тому цей квадратний тричлен не має жодного дійсного кореня.

Оскільки коефіцієнт при квадратному члені a^2 додатний, цей квадратний тричлен завжди буде від'ємним. Тобто, для будь-якого значення a, маємо:

a^2 - 6a + 34 < 0

Отже, ми довели, що (4-a)(a+2) < 2(21-4a) при всіх дійсних значеннях a.