Question

Алгебра 10-11 классы. Помогите, пожалуйста. 1) Вычислить: sin 1260° + tg (-2460°) 2) Найти sin a, cos a, tg a и ctg a, если: sin a = - √3/3 и 3/2пи<а<2пи. 3) Упростить выражение: (1 + ctg²a)*sin²a-1.

Answer 1

№1

sin(1260°) + tg(-2460°) = ?

sin(1260°) = sin(180° • 7) = sin(360° • 3 + 180°) = sin(180°) = 0

tg(-2460°) = -tg(180° • 13 + 120°) = -tg(120°) = -√3

sin(1260°) + tg(-2460°) = -√3

№2

sin α = -√3/3

3π/2 < α < 2π

Найти:

cos α
tg α

ctg α

Решение:

• cos α = ± √(1 - sin²α) = ± √(1 - ⅓) = ± √⅔

Так как 3π/2 < α < 2π, значит α ∈ IV четверти, ⇒ cos α > 0

⇒ cos α = √⅔

• tg α = sin α / cos α = -√3/3 : √⅔ = - 3/3√2 = -3√2/6 = - √2/3

• ctg α = 1/tg α = 1 : - √2/3 = - 3√2/2

№3

(1 + ctg²α) • sin²α - 1 = 1/sin²α • sin²α - 1 = 1 - 1 = 0

Answer 2

1) Вычислить: sin 1260° и tg (-2460°)

Для вычисления значений синуса и тангенса углов, выходящих за пределы первого квадранта (0°-90°), мы можем использовать периодичность функций синуса и тангенса.

Периодичность синуса: sin(x + 360°) = sin(x)

Так как 1260° = 1260° - 4 * 360° = 0°, то sin 1260° = sin 0° = 0.

Периодичность тангенса: tg(x + 180°) = tg(x)

Так как -2460° = -2460° + 14 * 180° = 0°, то tg (-2460°) = tg 0° = 0.

Таким образом, sin 1260° = 0 и tg (-2460°) = 0.

2) Найти sin a, cos a, tg a и ctg a, если sin a = - √3/3 и 3/2π < a < 2π.

Для решения этой задачи, нам понадобятся следующие соотношения:

Соотношение между синусом и косинусом: sin² a + cos² a = 1

Исходя из этого соотношения, мы можем выразить cos a:

cos² a = 1 - sin² a cos a = ±√(1 - sin² a)

Так как sin a = - √3/3, подставим эту величину в уравнение:

cos a = ±√(1 - (- √3/3)²) cos a = ±√(1 - 3/9) cos a = ±√(6/9) cos a = ±√(2/3)

Так как a находится во втором и третьем квадрантах (3/2π < a < 2π), cos a < 0.

Следовательно, cos a = -√(2/3).

Соотношение между тангенсом и котангенсом: tg a = sin a / cos a ctg a = cos a / sin a

Подставим известные значения и рассчитаем tg a и ctg a:

tg a = (- √3/3) / (-√(2/3)) tg a = √3/√2 tg a = √(3/2)

ctg a = (-√(2/3)) / (- √3/3) ctg a = √(2/3) / √3 ctg a = √(2/3) / √3 ctg a = √(2/3) * √(3/3) ctg a = √(6/9) ctg a = √(2/3)

Таким образом, для заданных значений sin a = - √3/3 и 3/2π < a < 2π, мы получаем: sin a = - √3/3 cos a = -√(2/3) tg a = √(3/2) ctg a = √(2/3)

3) Упростить выражение: (1 + ctg²a)*sin²a - 1

Для упрощения данного выражения, воспользуемся следующими соотношениями:

Соотношение между синусом и косинусом: sin² a + cos² a = 1

Соотношение между тангенсом и котангенсом: tg a = sin a / cos a ctg a = cos a / sin a

Соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом: sin² a = 1 - cos² a tg² a = 1 - ctg² a

Теперь, решим данное выражение:

(1 + ctg²a)*sin²a - 1 (1 + (cos a / sin a)²)*(1 - cos² a) - 1 ((sin² a + cos² a) / sin² a)*(1 - cos² a) - 1 (1 / sin² a)*(1 - cos² a) - 1 (1 - cos² a) / sin² a - 1 (sin² a / sin² a) - (cos² a / sin² a) - 1 1 - (cos² a / sin² a) - 1 - (cos² a / sin² a)

Таким образом, упрощенное выражение равно - (cos² a / sin² a).