Question

Розв‘яжіть нерівність х2-7х-30 більше і дорівнює 0

Answer 1

Ответ:   $x\in (-\infty ;-3\ ]\cup [\ 10\ ;+\infty \, )$  .

$x^2-7x-30\geq 0$

Сначала найдём, при каких значениях "х" квадр. трёхчлен =0 .

$x^2-7x-30=0\\\\D=b^2-4ac=49+4\cdot 30=169=13^2\ \ ,\\\\x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\ \ ,\ \ x_1=\dfrac{7-13}{2}=-3\ ,\ \ x_2=\dfrac{7+13}{2}=10\ \ .$

Теперь разложим на множители левую часть неравенства и решим неравенство методом интервалов .

$(x+3)(x-10)\geq 0\\\\znaki:\ \ \ +++[-3\, ]---[\, 10\, ]+++\\\\x\in (-\infty ;-3\ ]\cup [\ 10\ ;+\infty \, )$

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність х^2 - 7х - 30 ≥ 0, спочатку знайдемо корені рівняння, що відповідає цій нерівності. Для цього рівняння маємо:

х^2 - 7х - 30 = 0

Ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації, завершуючи наступні кроки:

1. Розкладаємо -30 на два множники, які в сумі дають -7. Очевидно, що це буде -10 та 3.

Таким чином, ми маємо:

(х - 10)(х + 3) = 0

2. Застосовуємо правило нульового множника та встановлюємо кожний дужку рівним нулю:

х - 10 = 0 або х + 3 = 0

3. Вирішуємо кожне рівняння:

х = 10 або х = -3

Таким чином, ми отримали два корені: х = 10 та х = -3.

Побудова числової прямої

Тепер, коли у нас є корені рівняння, ми можемо побудувати числову пряму та визначити, в яких інтервалах нерівність х^2 - 7х - 30 ≥ 0 є задоволеною.

Ми поміщаємо числа -3 та 10 на нашу числову пряму:

-3 10

Тепер ми можемо вибрати тестову точку в кожному інтервалі та перевірити, чи задовольняє вона нерівність.

- Візьмемо тестову точку х = -4, яка знаходиться в інтервалі перед -3. Підставимо це значення у нашу нерівність:

(-4)^2 - 7(-4) - 30 ≥ 0

16 + 28 - 30 ≥ 0

14 ≥ 0

Це вірно, тому інтервал перед -3 задовольняє нерівність.

- Візьмемо тестову точку х = 0, яка знаходиться між -3 та 10. Підставимо це значення у нашу нерівність:

0^2 - 7(0) - 30 ≥ 0

0 - 0 - 30 ≥ 0

-30 ≥ 0

Це невірно, тому інтервал між -3 та 10 не задовольняє нерівність.

- Візьмемо тестову точку х = 11, яка знаходиться після 10. Підставимо це значення у нашу нерівність:

11^2 - 7(11) - 30 ≥ 0

121 - 77 - 30 ≥ 0

14 ≥ 0

Це вірно, тому інтервал після 10 задовольняє нерівність.

Результат

Отже, розв'язок нерівності х^2 - 7х - 30 ≥ 0 є:

х ≤ -3 або х ≥ 10

Це означає, що значення х може бути будь-яким числом, яке менше або дорівнює -3, або будь-яким числом, яке більше або дорівнює 10.