Question

Для додатних чисел х і у доведіть нерівність (3x)/y+ y/(27x) > 2/3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для додатних чисел х і у доведіть нерівність (3x)/y+ y/(27x) > 2/3

воспользуемся неравенством о средних (неравенство Коши)

в условии скорее всего должно быть так

(3x)/y+ y/(27x) ≥ 2/3

$\displaystyle\\\frac{3x}{y} +\frac{y}{27x} \geq 2\sqrt{\frac{3x}{y} \cdot\frac{y}{27x} } =2\sqrt{\frac{1}{9} } =\frac{2}{3}$

Answer 2

Щоб довести нерівність (3x)/y + y/(27x) > 2/3 для додатних чисел х і у, ми можемо скористатися деякими властивостями арифметичних операцій та нерівностей. Давайте розглянемо кожну частину нерівності окремо і знайдемо умови, за яких вона буде виконуватися.

Частина (3x)/y

Почнемо з першого доданка (3x)/y. Щоб цей доданок був більшим за 2/3, достатньо, щоб його значення було більшим за половину значення 2/3, тобто більшим за 1/3. Тобто, маємо нерівність:

(3x)/y > 1/3 (1)

Частина y/(27x)

Тепер розглянемо другий доданок y/(27x). Щоб цей доданок був більшим за 2/3, достатньо, щоб його значення було більшим за половину значення 2/3, тобто більшим за 1/3. Тобто, маємо нерівність:

y/(27x) > 1/3 (2)

Об'єднання обох нерівностей

Тепер, щоб знайти умови, за яких виконується обидва доданки нерівності, ми можемо поєднати нерівності (1) і (2). Це можна зробити, помноживши обидві нерівності на 3:

(3x)/y > 1/3 (1) y/(27x) > 1/3 (2)

Множення на 3 не змінює напрям нерівностей, тому ми можемо записати:

3 * (3x)/y > 3 * (1/3) (3) 3 * (y/(27x)) > 3 * (1/3) (4)

Спростивши нерівності (3) і (4), отримуємо:

9x/y > 1 (5) y/9x > 1/3 (6)

Об'єднання обох нерівностей

Тепер ми можемо поєднати нерівності (5) і (6), щоб отримати умови, за яких обидва доданки нерівності будуть більшими за 1/3. Це можна зробити, помітивши, що у нерівності (5) чисельник і знаменник можна помножити на 9x, а у нерівності (6) чисельник і знаменник можна помножити на 9x:

9x * (9x/y) > 9x * 1 (7) 9x * (y/9x) > 9x * (1/3) (8)

Спростивши нерівності (7) і (8), отримуємо:

81x^2/y > 9x (9) y > 3x (10)

Умови виконання нерівності

Таким чином, ми отримали дві нерівності: 81x^2/y > 9x (9) і y > 3x (10). Ці нерівності повинні виконуватися одночасно, щоб обидва доданки нерівності були більшими за 1/3. Тому, для додатних чисел х і у, нерівність (3x)/y + y/(27x) > 2/3 буде виконуватися, якщо одночасно виконуються нерівності (9) і (10):

81x^2/y > 9x (9) y > 3x (10)

Це є детальним розв'язком нерівності (3x)/y + y/(27x) > 2/3 для додатних чисел х і у.