Question

Сума гіпотенузи і одного з катетів прямокутного трикутника дорівнює 25 см. Якщо цей катет зменшити на 7 см, а другий катет збільшити на 7 см, то одержимо прямокутний трикутник з тією ж самою гіпотенузою. Знайти периметр даного трикутника.

Answer 1

Ответ:

30 см

Объяснение:

Сумма гипотенузы c и одного катета a прямоугольного треугольника равна 25 см.

Если этот катет a уменьшить на 7 см, а другой катет b увеличить на 7 см, то мы получим треугольник с такой же гипотенузой c.

Найти периметр этого треугольника.

Решение:

a + c = 25, отсюда c = 25 - a

По теореме Пифагора для данного треугольника:

a^2 + b^2 = c^2 = (25 - a)^2

a^2 + b^2 = 625 - 50a + a^2

b^2 = 625 - 50a    (1)

Если катет a уменьшить на 7 см, а катет b увеличить на 7 см, то получится треугольник с такой же гипотенузой c.

По теореме Пифагора для нового треугольника:

(a-7)^2 + (b+7)^2 = c^2 = (25 - a)^2

a^2 - 14a + 49 + b^2 + 14b + 49 = 625 - 50a + a^2

b^2 - 14a + 14b + 98 = 625 - 50a      (2)

Подставляем b^2 из уравнения (1) в уравнение (2):

625 - 50a - 14a + 14b + 98 = 625 - 50a

- 14a + 14b + 98 = 0

Переносим a отдельно и делим всё на 14:

a = b + 7     (3)

Подставляем это уравнение (3) в уравнение (1):

b^2 = 625 - 50(b + 7)

b^2 + 50b + 350 - 625 = 0

b^2 + 50b - 275 = 0

D/4 = 25^2 + 275 = 625 + 275 = 900 = 30^2

b1 = -25 - 30 = -55 < 0 - не подходит

b2 = -25 + 30 = 5 см - это длина второго катета.

a = b + 7 = 5 + 7 = 12 см - это длина первого катета.

c = 25 - a = 25 - 12 = 13 см - это длина гипотенузы.

Периметр этого треугольника:

P = 5 + 12 + 13 = 30 см

Если а уменьшить на 7 см, а b увеличить на 7 см, то получится:

a - 7 = 12 - 7 = 5 см, b + 7 = 5 + 7 = 12 см.

Получится другой такой же треугольник с катетами 5 и 12 см, и с такой же гипотенузой c = 13 см.

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо скористатися теоремою Піфагора та властивостями прямокутних трикутників.

Властивості прямокутних трикутників

У прямокутному трикутнику гіпотенуза є найдовшою стороною, а катети - коротшими сторонами. Теорема Піфагора стверджує, що сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

Задані умови

За умовою задачі, сума гіпотенузи і одного з катетів прямокутного трикутника дорівнює 25 см. Якщо один катет зменшити на 7 см, а другий катет збільшити на 7 см, то отримаємо прямокутний трикутник з тією ж самою гіпотенузою.

Розв'язок

Позначимо довжину гіпотенузи як c, а довжини катетів як a і b.

За умовою задачі, маємо такі рівності: 1. a + c = 25 (сума гіпотенузи і одного з катетів дорівнює 25 см) 2. (a - 7)^2 + (b + 7)^2 = c^2 (при зменшенні одного катета на 7 см і збільшенні другого катета на 7 см, отримуємо прямокутний трикутник з тією ж самою гіпотенузою)

Давайте розв'яжемо цю систему рівнянь.

З першого рівняння виразимо c: c = 25 - a.

Підставимо це значення в друге рівняння: (a - 7)^2 + (b + 7)^2 = (25 - a)^2.

Розкриємо квадрати: a^2 - 14a + 49 + b^2 + 14b + 49 = 625 - 50a + a^2.

Спростимо рівняння: b^2 + 14b + 98 = 625 - 50a.

Перенесемо всі члени в одну частину рівняння: b^2 + 14b + 50a - 527 = 0.

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно b. Давайте розв'яжемо його.

Розв'язання квадратного рівняння

Для розв'язання квадратного рівняння використаємо формулу дискримінанту: D = b^2 - 4ac.

В нашому випадку, a = 1, b = 14, c = 50.

Обчислимо дискримінант: D = 14^2 - 4 * 1 * 50 = 196 - 200 = -4.

Оскільки дискримінант від'ємний, то квадратне рівняння не має розв'язків.

Висновок

Отже, з умови задачі випливає, що неможливо знайти прямокутний трикутник, який задовольняє умовам. Тому неможливо знайти периметр даного трикутника.

Примітка: Врахуйте, що цей висновок базується на використанні властивостей прямокутних трикутників та розв'язанні квадратного рівняння. Якщо у вас є додаткові уточнення або запитання, будь ласка, повідомте мене, і я з радістю допоможу вам.