Question

Найдите для функции f(x)=5x⁴+3x²-7 первообразную,график которой проходит через точку A(1;-4)​

Answer 1

Ответ:

Для функции f(x)  найдём первообразную F(x) , проходящую через точку A(1; -4) .

$\displaystyle f(x)=5x^4+3x^2-7\ \ ,\ \ \ F(x)+C=\int f(x)\, dx\\\\F(x)=\int (5x^4+3x^2-7)\, dx=\frac{5x^5}{5}+\frac{3x^3}{3}-7x+C=x^5+x^3-7x+C\\\\\\A(\, 1\, ;\, -4\, )\ \ \Rightarrow \ \ \ F(1)=-4\\\\F(1)=1^5+1^3-7+C=-4\ \ ,\ \ -5+C=-4\ \ ,\ \ C=1\\\\Otvet:\ \ F(x)\Big|_{M}=x^5+x^3-7x+1\ .$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7, график которой проходит через точку A(1, -4), мы должны найти функцию F(x), такую что F'(x) = f(x). В данном случае, мы ищем функцию F(x), производная которой равна f(x).

Для нахождения первообразной, мы должны интегрировать каждый член функции f(x) по отдельности.

Интегрируя каждый член по отдельности, получим:

∫(5x^4)dx = (5/5)x^5 + C1 = x^5 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

∫(3x^2)dx = (3/3)x^3 + C2 = x^3 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

∫(-7)dx = -7x + C3, где C3 - еще одна произвольная постоянная.

Теперь мы можем объединить все результаты в одно выражение:

F(x) = x^5 + x^3 - 7x + C, где C = C1 + C2 + C3 - итоговая произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7, график которой проходит через точку A(1, -4), равна F(x) = x^5 + x^3 - 7x + C.

Для определения конкретного значения постоянной C, необходимо использовать информацию о точке A(1, -4). Подставим координаты точки A в выражение для F(x):

-4 = (1)^5 + (1)^3 - 7(1) + C -4 = 1 + 1 - 7 + C C = -4 - 1 + 7 - 1 C = 1

Таким образом, окончательная первообразная функции f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7, график которой проходит через точку A(1, -4), равна F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1.