Question

Дві працівниці можуть виконати комп'ютерний набір тексту підручника алгебри за 8 днів . Якщо перша працівниця набере ⅔ , а потім друга - завершить набір , то весь текст підручника буде набрано за 16 днів . За скільки днів набере тексту перша та друга працівниця?

Answer 1

Відповідь:

Перша працівниця набере текст за 12 днів, а друга за 24

або перша за 16 і друга  - за 16.

Пояснення:

1. Задачу розв'яжемо за допомогою складання системи рівнянь. Для цього введемо змінні x та y.
2. Нехай перша працівниця може набрати весь текст за x днів, тоді друга працівниця  -  за y днів. Тоді за один день перша працівниця може виконати  1/x частину роботи, а  друга  - 1/y частину роботи.  Разом за один день дві працівниці можуть виконати 1/8  частину всієї роботи. Отже, складемо перше рівняння системи:

                    $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{1}{8}$

   3. Оскільки за 16 днів буде набрано весь текст підручника, якщо перша працівниця набере 2/3 всієї роботи, а потім друга - завершить набір. Значить в цьому випадку перша  працівниця виконає свою роботу за $\frac{2}{3} x$ днів, а друга - за $\frac{1}{3} x$ днів. Отже, складемо друге  рівняння системи:

                 $\frac{2}{3} x+\frac{1}{3} x=16$

4. Запишемо систему рівнянь:

      $\begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{1}{8}, \\ \frac{2}{3} x+\frac{1}{3} x=16; \end{cases}\end{equation*}$

• 5. Домножимо перше рівняння на 8xy, а друге  - на 3, щоб позбутися дробів і отримаємо таку систему:

      $\begin{equation*} \begin{cases} \ 8x+8y-xy =0, \\ 2x+y=48; \end{cases}\end{equation*}$

• 6. Розвяжемо систему способом підстановки:  виразимо в другому рівнянні y через x та підставимо замість y утворене його значення в перше рівняння:

    $\begin{equation*} \begin{cases} \ 8x+8y-xy =0, \\ y=48-2x; \end{cases}\end{equation*}$

• Отримане рівняння з однією змінною  зведемо до квадратного та розв'яжемо через дискримінант:

        $8x+8(48-2x)-x(48-2x)=0$

        $></p> <p>         <img src=$

        $\\\\x^{2} -28x+192=0$

      $D=b^{2} -4ac=28^{2} -4\cdot192=784-768=16$

     $x_1=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{28-4}{2} =12\\x_2=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{28+4}{2} =16$

• Знайдемо значення y₁ та y₂, підставивши відповідні значення  x₁ та x₂ у рівність y=48-2x:

       Якщо x₁=12, то y₁=48-2x=48-2·12=24;

       Якщо x₂=16, то y₂=48-2x=48-2·16=16.

Відповідь: перша за 16 або 12 днів, а друга  - за 16 або за 24 дні.

Answer 2

Solution:

Let's denote the rate at which the first worker types as x pages per day and the rate at which the second worker types as y pages per day.

Given: - Two workers can type the entire textbook in 8 days. - If the first worker types ⅔ of the textbook and then the second worker completes the typing, the entire textbook can be typed in 16 days.

We can create the following equations based on the given information:

1. The combined rate of the two workers typing the entire textbook: - x + y = 1/8 (Equation 1)

2. The rate at which the first worker types plus the rate at which the second worker types equals the rate at which the entire textbook is typed: - 2x + y = 1/16 (Equation 2)

To solve for x and y, we can use the method of substitution or elimination.

Solving the Equations:

Let's solve the system of equations using the method of substitution.

From Equation 1, we can express y in terms of x: - y = 1/8 - x (Equation 3)

Substitute the value of y from Equation 3 into Equation 2: - 2x + (1/8 - x) = 1/16 - 2x + 1/8 - x = 1/16 - x + 1/8 = 1/16 - x = 1/16 - 1/8 - x = 1/16 - 2/16 - x = -1/16

Now, we have a negative value for x, which doesn't make sense in this context. This suggests that there might be an error in the given problem. It's possible that the given information is inconsistent or contradictory.

Without a positive value for x, we cannot determine the number of days it would take for each worker to type the textbook.

If there are any additional details or corrections to the given problem, please provide them so that we can proceed with solving the problem accurately.