Question

1. Докажите, что значение выражения √5+6 - (√5+√6) - число иррациональное.

Answer 1

Раскроем скобки и приведём подобные.

$\sqrt{5} +6 - ( \sqrt{5} + \sqrt{6} ) = \sqrt{5} +6 - \sqrt{5} - \sqrt{6} = 6 - \sqrt{6}$
 Число 6 - рациональное. А вот число $\sqrt{6}$ - иррациональное. Разность рационального и рационального - есть число иррациональное.

Докажем, что число $\sqrt{6}$ иррациональное.

Предположим, что $\sqrt{6} = \frac{a}{b}$, где a и b - целые числа, причём они не являются одновременно чётными.

Возведём обе части в квадрат:
$(\sqrt{6})^2 = (\frac{a}{b})^2 \\ \\ 6 = \frac{a^2}{b^2} \\ \\ a^2 = 6b^2$

Число $6b^2$ чётное, следовательно, чётно а², и,значит, чётно а.
Пусть тогда а = 2с. Тогда мы имеем:
$a^2 = 6b^2 \\ \\ (2c)^2 = 6b^2 \\ \\ 4c^2 = 6b^2 \\ \\ 2c^2 = 3b^2$

Т.к. 2с² чётно, то чётно 3b², откуда следует чётность b² и чётность b.

Мы получили, что a и b - чётные, что противоречит начальному предположению. Следовательно, число $\sqrt{6}$ иррациональное, а вместе с ним иррационально и исходное выражение.