Question

Найти точки экстремума функции: y= 3x^2-8x^3+8

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Смотри

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции y = 3x^2 - 8x^3 + 8, нам необходимо найти её производную и приравнять её к нулю. Точки, в которых производная равна нулю, могут представлять экстремумы функции (как максимумы, так и минимумы) или точки перегиба.

Нахождение производной

Для начала найдем производную функции y по переменной x. Для этого возьмем каждый член функции и возьмем производную от него по отдельности, используя правила дифференцирования.

Производная первого члена 3x^2 равна 6x. Производная второго члена -8x^3 равна -24x^2. Производная последнего члена 8 равна 0, так как константа не имеет влияния на производную.

Теперь сложим эти производные, чтобы получить производную функции y: y' = 6x - 24x^2

Приравнивание производной к нулю

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

6x - 24x^2 = 0

Решение уравнения

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем вынести общий множитель и использовать свойство нулевого произведения:

x(6 - 24x) = 0

Теперь мы имеем два случая:

1. x = 0 2. 6 - 24x = 0

Решая второе уравнение, получим: 6 - 24x = 0 24x = 6 x = 6/24 x = 1/4

Определение типа экстремума

Теперь, чтобы определить тип экстремума в каждой найденной точке, нам необходимо проанализировать знак производной в окрестности каждой из них.

Для x = 0: Подставим значения x < 0, x = 0 и x > 0 в производную функции: y' = 6x - 24x^2

При x < 0, получим отрицательное значение производной. При x = 0, производная равна 0. При x > 0, получим положительное значение производной.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что у функции y = 3x^2 - 8x^3 + 8 есть минимум в точке x = 0.

Для x = 1/4: Подставим значения x < 1/4, x = 1/4 и x > 1/4 в производную функции: y' = 6x - 24x^2

При x < 1/4, получим положительное значение производной. При x = 1/4, производная равна 0. При x > 1/4, получим отрицательное значение производной.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что у функции y = 3x^2 - 8x^3 + 8 есть максимум в точке x = 1/4.

Ответ

Итак, мы найдем две точки экстремума функции y = 3x^2 - 8x^3 + 8: 1. Минимум в точке (0, 8) 2. Максимум в точке (1/4, 9/8)

Надеюсь, эта информация была полезной. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!