Question

Решить неравенства: sin^2 x/2-cos^2 x/2≥1/2; 4 sin 2x cos2x>√3:​

Answer 1

sin^2(x/2)-cos^2(x/2)>=1/2

-cosx>=1/2

cosx<=-1/2

[2П/3+2Пk;4П/3+2Пk]

2*2*sin2x*cos2x>√3

2sin4x>√3

sin4x>√3/2

П/3+2Пk<=4x<=2П/3+2Пk

П/12+Пk/2<=x<=П/6+Пk/2

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по отдельности:

1. sin^2(x/2) - cos^2(x/2) ≥ 1/2:

Применим формулу тригонометрического тождества sin^2θ - cos^2θ = -cos(2θ) к левой стороне неравенства:

-cos(x) ≥ 1/2

Умножим обе части неравенства на -1 и поменяем направление неравенства:

cos(x) ≤ -1/2

Теперь найдем значения x, для которых выполняется это неравенство. Диапазон значений косинуса от -1 до 1 соответствует периоду 2π. Значения косинуса будут меньше -1/2 в двух интервалах:

1. В первом квадранте: π < x < 3π/2
2. В третьем квадранте: 2π < x < 5π/2

Таким образом, решением неравенства является:

π < x < 3π/2 или 2π < x < 5π/2.

2. 4sin(2x)cos(2x) > √3:

Раскроем произведение sin(2x)cos(2x) с помощью формулы двойного угла sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ):

4(2sin(x)cos(x))(cos^2(x) - sin^2(x)) > √3

Упростим выражение:

8sin(x)cos^3(x) - 4sin^3(x)cos(x) > √3

Теперь заменим sin(x) и cos(x) на t, чтобы сократить сложность записи:

8t(1 - t^2) - 4t^3 > √3

8t - 8t^3 - 4t^3 > √3

-12t^3 + 8t > √3

Так как это кубическое неравенство, решение будет достаточно сложным. Чтобы решить его точно, требуется применение численных методов или графический анализ.