Question

5.109Докажите тождество 1)а³+3аb(a+b)+b³=(a+b)³;2)а³-3ab(a-b)-b³=(a-b)³.​

Answer 1

(a+b)³=а³+3а²b+3ab²+b³=a³+3ab·(a+b)+b³

(a-b)³=а³-3а²b+3ab²-b³=a³-3ab·(a-b)-b³

Answer 2

1) Докажем тождество a³ + 3ab(a+b) + b³ = (a+b)³:

Начнем с раскрытия куба (a+b)³: (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)(a²+2ab+b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Теперь сравним полученное выражение с исходным: a³ + 3ab(a+b) + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Таким образом, мы доказали тождество a³ + 3ab(a+b) + b³ = (a+b)³.

2) Докажем тождество a³ - 3ab(a-b) - b³ = (a-b)³:

Раскроем куб (a-b)³: (a-b)³ = (a-b)(a-b)(a-b) = (a-b)(a²-2ab+b²) = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Сравниваем полученное выражение с исходным: a³ - 3ab(a-b) - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Таким образом, мы доказали тождество a³ - 3ab(a-b) - b³ = (a-b)³.