Question

Решите неравенство f'(x) < 0, если f(x)=sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)

Answer 1

$\displaystyle\bf\\f(x)=Sin2x Cosx+Cos2x Sinx=Sin(2x+x)=Sin3x\\\\f'(x)=(Sin3x)'=Cos3x\cdot(3x)'=3Cos3x\\\\3Cos3x < 0\\\\Cos3x < 0\\\\\frac{\pi }{2} +2\pi n < 3x < \frac{3\pi }{2} +2\pi n,n\in Z\\\\\\\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi }{2} +\frac{2\pi n}{3} ,n\in Z\\\\\\Otvet:x\in\Big(\frac{\pi }{6} +\frac{2\pi n}{3} \ ; \ \frac{\pi }{2}+\frac{2\pi n}{3}\Big) \ ,n\in Z$

Answer 2

Чтобы решить неравенство f'(x) < 0, где f(x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x), нам необходимо найти производную функции f(x) и найти интервалы, на которых она отрицательна.

Давайте начнем с вычисления производной f'(x) по переменной x. Используя правило производной произведения и тригонометрические идентичности, получаем:

f'(x) = (2cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)) + (-2sin(2x)sin(x) - cos(2x)cos(x)) = 2cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x) - 2sin(2x)sin(x) - cos(2x)cos(x) = 3cos(2x)cos(x) - 3sin(2x)sin(x)

Теперь нам нужно найти значения x, для которых f'(x) < 0. Для этого мы можем разложить f'(x) на множители и определить знак каждого множителя.

f'(x) < 0 тогда и только тогда, когда произведение двух множителей отрицательно:

1. cos(2x)cos(x) < 0
2. sin(2x)sin(x) > 0

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. cos(2x)cos(x) < 0: Так как cos(2x) и cos(x) являются положительными на интервалах, где cos(2x) > 0 и cos(x) > 0, и отрицательными на интервалах, где cos(2x) < 0 и cos(x) < 0, мы можем сосредоточиться на интервалах, где одно из чисел положительное, а другое отрицательное.

   a) При cos(2x) < 0 и cos(x) > 0: π/4 < x < π/2 b) При cos(2x) > 0 и cos(x) < 0: 0 < x < π/4

Таким образом, интервалы, на которых cos(2x)cos(x) < 0, это (0, π/4) и (π/2, π).

2. sin(2x)sin(x) > 0: Так как sin(2x) и sin(x) имеют одинаковые знаки на одних и тех же интервалах, мы можем сосредоточиться только на интервалах, где оба числа положительные или оба числа отрицательные.

   a) При sin(2x) > 0 и sin(x) > 0: 0 < x < π/2 b) При sin(2x) < 0 и sin(x)