Question

знайти загальний вигляд первісних для функції f(x)=8 sin •x/2•cos•x/2 попередньо спростивши її формулу у відповідь записати значення сталої С при якому графік первісної проходить через точку D(пі;6)

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для знаходження загального вигляду первісної функції f(x) = 8sin(x/2)cos(x/2) використаємо інтегральні властивості синуса та косинуса.

Запишемо формулу для первісної функції f(x): F(x) = ∫[f(x)] dx

Спростимо формулу функції f(x): f(x) = 8sin(x/2)cos(x/2) = 4sin(x/2)⋅2cos(x/2) = 4(sin(x/2)⋅cos(x/2))

Тепер використаємо формулу інтегралу добутку функцій: ∫[u(x)⋅v(x)] dx = ∫[u(x)] dx ⋅ ∫[v(x)] dx

Застосуємо цю формулу до нашої функції: F(x) = 4∫[sin(x/2)] dx ⋅ ∫[cos(x/2)] dx

Інтегруючи кожну з цих функцій окремо, отримаємо: F(x) = -8cos(x/2) ⋅ 8sin(x/2) + C1 ⋅ C2, де C1 та C2 - довільні сталі.

Тепер, щоб визначити значення сталої C, для якого графік первісної проходить через точку D(пі;6), підставимо значення x = пі та F(пі) = 6 у формулу первісної функції: 6 = -8cos(пі/2) ⋅ 8sin(пі/2) + C1 ⋅ C2

Оскільки cos(пі/2) = 0 та sin(пі/2) = 1, отримаємо: 6 = -8 ⋅ 8 + C1 ⋅ C2 6 = -64 + C1 ⋅ C2 C1 ⋅ C2 = 70

Отже, значення сталої C, при якому графік первісної проходить через точку D(пі;6), дорівнює 70.