Question

Найдите неопределенный интеграл: ∫ (cos2x + 2 sin^2 x + 3√x6)dxпожалуйста!

Answer 1

$\int {cos2x+2sin^2x+3\sqrt{x} } \, dx =\int {cos2x } \, dx+\int {2sin^2x} \, dx+\int {3\sqrt{x} } \, dx=\\\\=\frac{1}{2}\int {cos2x } \, d(2x)+2\int {\frac{1-cos2x}{2}} \, dx+3\int {x^{\frac{1}{2}} } \, dx=\frac{1}{2}sin2x+(x-\frac{1}{2}sin2x)+3\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\\\\=x+2\sqrt{x}$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла данного выражения, нам нужно разложить выражение под знаком интеграла на более простые функции, которые мы сможем интегрировать.

cos^2(x) можно заменить на (1+cos(2x))/2, а sin^2(x) на (1-cos(2x))/2. Таким образом, наше выражение примет вид:

∫ ((1+cos(2x))/2 + 2*(1-cos(2x))/2 + 3√x^6) dx

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

∫ (1/2 + cos(2x)/2 + 2 - cos(2x) + 3√x^6) dx ∫ (5/2 + cos(2x)/2 - cos(2x) + 3√x^6) dx

Теперь можем интегрировать каждый член по отдельности:

∫ 5/2 dx = 5/2x ∫ cos(2x)/2 dx = sin(2x)/4 ∫ -cos(2x) dx = -sin(2x)/2 ∫ 3√x^6 dx = 3 * x^3 * √x^2 = 3 * x^3 * x = 3x^4

Теперь сложим все члены:

5/2x + sin(2x)/4 - sin(2x)/2 + 3x^4 + C

Где C - произвольная постоянная. Таким образом, неопределенный интеграл ∫(cos2x + 2sin^2x + 3√x^6)dx равен:

5/2x + sin(2x)/4 - sin(2x)/2 + 3x^4 + C