Question

Знайдіть суму перших n членів арифметичної прогресії якщо a1=1 a5=3 n=40

Answer 1

$\displaystyle\bf\\a_{1}=1\\\\a_{5} =3\\\\n=40\\\\a_{5}=a_{1} +4d\\\\4d=a_{5} -a_{1} =3-1=2\\\\d=2:4=0,5\\\\a_{40} =a_{1} +39d=1+39\cdot 0,5=1+19,5=20,5\\\\\\S_{40} =\frac{a_{1} +a_{40} }{2} \cdot40=(a_{1} +a_{40} )\cdot 20=(1+20,5)\cdot20=\\\\\\=21,5\cdot 20=430\\\\\\Otvet: \ S_{40} =430$

Answer 2

Для знаходження суми перших \( n \) членів арифметичної прогресії, нам спочатку потрібно знайти різницю прогресії \( d \), а потім можна використати формулу для знаходження суми перших \( n \) членів прогресії.

Знаходження різниці прогресії

Для знаходження різниці прогресії можна використати відомі значення \( a_1 \) і \( a_5 \). У нашому випадку, \( a_1 = 1 \) і \( a_5 = 3 \). Різниця прогресії \( d \) може бути знайдена за допомогою наступної формули:

\[ a_5 = a_1 + 4d \]

Розв'язавши цю формулу для \( d \), ми отримаємо:

\[ d = \frac{a_5 - a_1}{4} \] \[ d = \frac{3 - 1}{4} \] \[ d = \frac{2}{4} \] \[ d = 0.5 \]

Таким чином, ми знаходимо, що різниця прогресії \( d = 0.5 \).

Знаходження суми перших \( n \) членів прогресії

Тепер, коли ми знаємо різницю прогресії \( d \), ми можемо використати формулу для знаходження суми перших \( n \) членів арифметичної прогресії:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

де \( S_n \) - сума перших \( n \) членів прогресії, \( n \) - кількість членів прогресії, \( a_1 \) - перший член прогресії, \( a_n \) - \( n \)-й член прогресії.

Підстановка відомих значень

У нашому випадку, \( a_1 = 1 \), \( d = 0.5 \), і \( n = 40 \). Тому, \( a_{40} = a_1 + 39d \), \( a_{40} = 1 + 39*0.5 = 1 + 19.5 = 20.5 \).

Тепер ми можемо підставити ці значення у формулу для знаходження суми перших \( n \) членів прогресії:

\[ S_{40} = \frac{40}{2}(1 + 20.5) \] \[ S_{40} = 20 * 21.5 \] \[ S_{40} = 430 \]

Отже, сума перших 40 членів арифметичної прогресії дорівнює 430.