Question

Утворити геометричну прогресію (bn), якщо різниця другого та першого її членів дорівнює -4, а різниця третього та першого дорівнює 8. С решением по формулам с книги, а не придуманные. Даю 40 баллов

Answer 1

Ответ:

Геометрическая прогрессия задана первым членом 1 и знаменателем -3 .

Объяснение:

По условию разность второго и первого членов геометрической прогрессии равна -4, а разность третьего и первого равна 8 , то есть

$b{_2}-b{_1}=-4;\\b{_3}-b{_1}=8$

Воспользуемся формулой n- го члена

$b{_n}= b{_1}\cdot q^{n-1}$

и  составим систему

$\begin{cases}b{_1}\cdot q-b{_1}=-4 \\b{_1}\cdot q^{2} -b{_1}=8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}b{_1}\cdot (q-1)=-4 \\b{_1}\cdot (q^{2} -1)=8\end{cases}$

Разделим второе уравнение системы на первое почленно и получим:

$\dfrac{q^{2} -1}{q-1} =-2;\\\\\dfrac{(q -1)(q+1)}{q-1} =-2;\\\\q+1=-2;\\q=-2-1;\\q=-3$

Найдем первый член геометрической прогрессии

$b{_1}\cdot(-3-1)=-4;\\b{_1}\cdot(-4)=-4;\\b{_1}=-4:(-4) ;\\b{_1}=1$

Значит, геометрическая прогрессия задана первым членом 1 и знаменателем -3 .

Проверим

$b{_1}=1;\\b{_2}= b{_1}\cdotq=1\cdot(-3) =-3$

Тогда разность

$b{_2}-b{_1}=-3-1=-4;$

$b{_3}=b{_2}\cdot q=-3\cdot(-3)=9$

$b{_3}-b{_1}=9-1=8$

Все условия выполняются.

Answer 2

Для утворення геометричної прогресії (bn) зазначеними умовами, ми можемо скористатися формулою для знаходження членів прогресії.

У даному випадку, нам дано, що різниця другого та першого членів прогресії дорівнює -4, а різниця третього та першого членів дорівнює 8.

Знаходження першого члена прогресії (b1):

Ми можемо використати формулу для знаходження першого члена прогресії (b1) за допомогою різниці другого та першого членів: b1 = b2 - d, де b2 - другий член прогресії, d - різниця другого та першого членів.

В нашому випадку, різниця другого та першого членів дорівнює -4, тому: b1 = b2 - (-4) = b2 + 4. [[1]]

Знаходження третього члена прогресії (b3):

Ми також можемо використати формулу для знаходження третього члена прогресії (b3) за допомогою різниці третього та першого членів: b3 = b1 + 2d, де b1 - перший член прогресії, d - різниця другого та першого членів.

В нашому випадку, різниця третього та першого членів дорівнює 8, тому: b3 = b1 + 2(8) = b1 + 16. [[1]]

Знаходження першого члена прогресії (b1) та третього члена прогресії (b3):

Ми маємо дві рівності, які дозволяють нам знайти значення першого члена прогресії (b1) та третього члена прогресії (b3): 1. b1 = b2 + 4 2. b3 = b1 + 16

Ми можемо використати ці рівності для знаходження значень b1 та b3. Підставимо значення b1 з першої рівності в другу рівність: b3 = (b2 + 4) + 16 = b2 + 20. [[1]]

Тепер ми маємо дві рівності, які дозволяють нам знайти значення першого члена прогресії (b1) та третього члена прогресії (b3): 1. b1 = b2 + 4 2. b3 = b2 + 20

Знаходження значень членів прогресії:

Знаючи значення b1, b2 та b3, ми можемо знайти інші члени прогресії за допомогою формули для знаходження членів прогресії: bn = b1 * r^(n-1), де bn - n-ий член прогресії, r - знаменник прогресії, n - номер члена прогресії.

У даному випадку, ми не маємо знаменника прогресії, але ми можемо знайти його, використовуючи різницю другого та першого членів прогресії: d = b2 - b1. [[1]]

Підставимо значення b1 та b2 з першої рівності в формулу для знаходження знаменника прогресії: d = (b2 + 4) - b2 = 4. [[1]]

Тепер ми знаємо, що знаменник прогресії дорівнює 4.

Знаючи знаменник прогресії та значення b1, ми можемо знайти інші члени прогресії: - b2 = b1 + d = b1 + 4 - b3 = b1 + 2d = b1 + 8 - b4 = b1 + 3d = b1 + 12 - і так далі.

Таким чином, ми можемо утворити геометричну прогресію (bn) з різницею -4 та 8, використовуючи формули для знаходження перших трьох членів прогресії та формулу для знаходження інших членів прогресії.

Наприклад, якщо ми приймемо перший член прогресії (b1) дорівнюючим 1, то: - b1 = 1 - b2 = b1 + 4 = 1 + 4 = 5 - b3 = b1 + 8 = 1 + 8 = 9 - b4 = b1 + 12 = 1 + 12 = 13 - і так далі.

Таким чином, геометрична прогресія (bn) з різницею -4 та 8 та першим членом 1 буде: 1, 5, 9, 13, ...