Question

Найдите sin2альфа+cos2альфа, если tgальфа=3

Answer 1

Формулы для выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

$\sin x=\dfrac{2\,\mathrm{tg}\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}$

$\cos x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}$

Получим:

$\sin2\alpha +\cos2\alpha =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha } +\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha } =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha+1-\mathrm{tg}^2\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }$

При $\mathrm{tg}\,\alpha =3$:

$\sin2\alpha +\cos2\alpha =\dfrac{2\cdot3+1-3^2}{1+3^2}=\dfrac{6+1-9}{1+9}=-\dfrac{2}{10} =-0.2$

Ответ: -0.2

Answer 2

Для начала найдем значение sin^2(альфа) и cos^2(альфа) с использованием тождества тангенса:

tg^2(альфа) + 1 = sec^2(альфа)

Так как tg(альфа) = 3, мы можем использовать это значение:

3^2 + 1 = sec^2(альфа) 9 + 1 = sec^2(альфа) 10 = sec^2(альфа)

Теперь найдем значение sin^2(альфа) и cos^2(альфа) с использованием тождества секанса:

sec^2(альфа) = 1/cos^2(альфа)

Так как sec^2(альфа) = 10, мы можем использовать это значение:

10 = 1/cos^2(альфа) cos^2(альфа) = 1/10

Теперь найдем значение sin^2(альфа) с использованием тождества:

sin^2(альфа) = 1 - cos^2(альфа) sin^2(альфа) = 1 - 1/10 sin^2(альфа) = 9/10

Таким образом, мы нашли значения sin^2(альфа) и cos^2(альфа):

sin^2(альфа) = 9/10 cos^2(альфа) = 1/10