Question

Знайдіть добуток усіх коренів x³+4x²-2x-8=0​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб знайти добуток усіх коренів рівняння x³ + 4x² - 2x - 8 = 0, ми можемо спочатку знайти ці корені, а потім обчислити їх добуток.

Давайте розглянемо, як ми можемо знайти корені цього рівняння.

Знайдення коренів рівняння x³ + 4x² - 2x - 8 = 0

Один спосіб знайти корені рівняння полягає у використанні методу Ньютона-Рафсона або методу хорд. Проте, ці методи можуть бути складними для розуміння і реалізації.

Інший спосіб знайти корені - використовувати графічний метод. Для цього ми можемо побудувати графік функції y = x³ + 4x² - 2x - 8 і знайти точки перетину з осію Ox. Корені рівняння будуть відповідати цим точкам перетину.

Однак, давайте спробуємо знайти корені цього рівняння за допомогою іншого методу - методу раціональних коренів.

Метод раціональних коренів

Метод раціональних коренів дозволяє знайти всі раціональні корені рівняння з цілими коефіцієнтами.

Спочатку нам потрібно знайти всі можливі цілі дільники останнього коефіцієнта (в даному випадку -8) і всі можливі цілі дільники коефіцієнта перед старшим членом (в даному випадку 1). Таким чином, ми розглядаємо всі можливі дільники -8 і 1, а також їхніх додатні і від'ємні значення. Отримані значення називаються кандидатами на раціональні корені.

Давайте знайдемо всі можливі кандидати на раціональні корені: - Дільники -8: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 - Дільники 1: -1, 1

Тепер, коли ми маємо всі можливі кандидати на раціональні корені, ми можемо застосувати теорему Безу для перевірки, які з цих кандидатів є коренями рівняння.

Теорема Безу стверджує, що якщо число a є коренем рівняння f(x) = 0, то (x - a) є множником f(x). Це означає, що якщо ми підставимо кандидата на раціональний корінь a в рівняння і отримаємо 0, то a є коренем рівняння x³ + 4x² - 2x - 8 = 0.

Давайте перевіримо кожного з кандидатів на раціональні корені, підставивши їх у рівняння:

1. Підставимо -8: (-8)³ + 4(-8)² - 2(-8) - 8 = -512 + 256 + 16 - 8 = -248 ≠ 0 Кандидат -8 не є коренем рівняння.

2. Підставимо -4: (-4)³ + 4(-4)² - 2(-4) - 8 = -64 + 64 + 8 - 8 = 0 Кандидат -4 є коренем рівняння.

3. Підставимо -2: (-2)³ + 4(-2)² - 2(-2) - 8 = -8 + 16 + 4 - 8 = 4 ≠ 0 Кандидат -2 не є коренем рівняння.

4. Підставимо -1: (-1)³ + 4(-1)² - 2(-1) - 8 = -1 + 4 + 2 - 8 = -3 ≠ 0 Кандидат -1 не є коренем рівняння.

5. Підставимо 1: (1)³ + 4(1)² - 2(1) - 8 = 1 + 4 - 2 - 8 = -5 ≠ 0 Кандидат 1 не є коренем рівняння.

6. Підставимо 2: (2)³ + 4(2)² - 2(2) - 8 = 8 + 16 - 4 - 8 = 12 ≠ 0 Кандидат 2 не є коренем рівняння.

7. Підставимо 4: (4)³ + 4(4)² - 2(4) - 8 = 64 + 64 - 8 - 8 = 112 ≠ 0 Кандидат 4 не є коренем рівняння.

8. Підставимо 8: (8)³ + 4(8)² - 2(8) - 8 = 512 + 256 - 16 - 8 = 744 ≠ 0 Кандидат 8 не є коренем рівняння.

9. Підставимо -1: (-1)³ + 4(-1)² - 2(-1) - 8 = -1 + 4 + 2 - 8 = -3 ≠ 0 Кандидат -1 не є коренем рівняння.

10. Підставимо 1: (1)³ + 4(1)² - 2(1) - 8 = 1 + 4 - 2 - 8 = -5 ≠ 0 Кандидат 1 не є коренем рівняння.

Таким чином, ми знайшли, що єдиним раціональним коренем цього рівняння є -4.

Обчислення добутку коренів

Тепер, коли ми знайшли раціональний корінь -4, ми можемо поділити рівняння на (x + 4) і отримати квадратне рівняння, яке ми можемо вирішити далі.

(x³ + 4x² - 2x - 8) / (x + 4) = x² - 2x - 2

Це квадратне рівняння ми можемо вирішити за допомогою формул Квадратного кореня.

x² - 2x - 2 = 0

a = 1, b = -2, c = -2

x₁,₂ = (-b ± √(b²