Question

Погите решить пожалуйста у"+у=0 У"-у=0; у"-7у'+12=0

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y''+y=0$   ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

Характеристическое уравнение:   $\lambda ^2+1=0\ ,\ \ \lambda ^2=-1\ ,\ \ \lambda =\pm i$  .

Вид общего решения ЛОДУ 2 пор. при комплексных корнях характеристического уравнения :  

  $y=C_1cosx+C_2sinx$    

$2)\ \ y''-y=0$   ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

Характеристическое уравнение:   $\lambda ^2-1=0\ ,\ \ \lambda ^2=1\ ,\ \ \lambda =\pm 1$  .

Вид общего решения ЛОДУ 2 пор. при действительных различных корнях  характ.  ур-я :  

  $y=C_1\, e^{-x}+C_2\, e^{x}$    

$3)\ \ y''-7y'+12y=0$   ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

В условии была допущена описка , не был написан  у .

Характеристическое уравнение:  

$\lambda ^2-7\lambda +12=0\ ,\ \ \lambda _1=3\ ,\ \ \lambda _2=4\ \ (teorema\ Vieta)$  .

Вид общего решения ЛОДУ 2 пор. при действительных различных корнях характ. ур-я:    

  $y=C_1\, e^{3x}+C_2\, e^{4x}$

Answer 2

Для решения уравнений, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

1. Уравнение у + у' = 0: Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем решить его с помощью метода разделения переменных или метода интегрирующего множителя.

Метод разделения переменных: Перепишем уравнение в виде у' = -у. Теперь мы можем разделить переменные, переместив все у на одну сторону и все у' на другую сторону: у'/у = -1. Затем мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения: ∫(1/у) dy = ∫(-1) dx. Получаем логарифмическую функцию на левой стороне: ln|у| = -x + C, где C - произвольная постоянная. Возведем обе стороны уравнения в экспоненту: |у| = e^(-x+C) = e^C * e^(-x). Поскольку e^C - также является произвольной постоянной, мы можем заменить его на новую постоянную K: |у| = Ke^(-x). Теперь мы можем рассмотреть два случая: 1) Если у > 0, то у = Ke^(-x). 2) Если у < 0, то у = -Ke^(-x).

Метод интегрирующего множителя: Мы можем решить это уравнение, умножив обе стороны на интегрирующий множитель, который является экспонентой от интеграла коэффициента при y: у * e^x = C, где C - произвольная постоянная.

2. Уравнение у" - 7у' + 12 = 0: Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем решить его с помощью характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение: r^2 - 7r + 12 = 0. Мы можем решить это квадратное уравнение, факторизуя его: (r - 3)(r - 4) = 0. Получаем два корня: r1 = 3 и r2 = 4.

Общее решение: Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: у = C1 * e^(r1x) + C2 * e^(r2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

В нашем случае: у = C1 * e^(3x) + C2 * e^(4x).

Это общее решение уравнения у" - 7у' + 12 = 0.

Общее решение первого уравнения: у = Ke^(-x), где K - произвольная постоянная.

Общее решение второго уравнения: у = C1 * e^(3x) + C2 * e^(4x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Пожалуйста, уточните, если у вас есть дополнительные вопросы.