Question

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 1/3 t^3+6t^2+8t-17 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 93 м/с?

Answer 1

$\displaystyle\bf\\X(t)=\frac{1}{3} t^{3} +6t^{2}+8t-17\\\\\\V(t)=X'(t)=\frac{1}{3} \cdot\Big(t^{3} \Big)'+6\cdot \Big(t^{2} \Big)'+8\cdot t'-17'=\\\\\\=\frac{1}{3} \cdot3t^{2} +6\cdot 2t+8\cdot 1 -0=t^{2} +12t+8\\\\\\V(t)=93\\\\93=t^{2} +12t+8\\\\t^{2}+12t-85=0\\\\D=12^{2} -4\cdot(-85)=144+340=484=22^{2} \\\\\\t_{1} =\frac{-12+22}{2} =5\\\\\\t_{2} =\frac{-12-22}{2} =-17-neyd$

Ответ : в момент времени равном 5 секунд .

Answer 2

Чтобы определить момент времени, когда скорость материальной точки была равна 93 м/с, нужно найти производную функции расстояния x(t) и решить уравнение:

v(t) = x'(t) = d/dt (1/3 t^3 + 6t^2 + 8t - 17) = t^2 + 12t + 8.

Теперь мы можем решить уравнение v(t) = 93:

t^2 + 12t + 8 = 93.

Перенесем все в одну сторону:

t^2 + 12t + 8 - 93 = 0.

Упростим:

t^2 + 12t - 85 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 12 и c = -85.

D = 12^2 - 4 * 1 * (-85) = 144 + 340 = 484.

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два вещественных корня. Применяем формулу для нахождения корней:

t = (-b ± √D) / (2a).

t = (-12 ± √484) / (2 * 1).

t = (-12 ± 22) / 2.

Теперь найдем два значения t:

t1 = (-12 + 22) / 2 = 10 / 2 = 5.

t2 = (-12 - 22) / 2 = -34 / 2 = -17.

Так как время не может быть отрицательным, отбрасываем значение t2 = -17.

Итак, момент времени, когда скорость была равна 93 м/с, составляет 5 секунд.