Question

Y''+ 4y' + 4y = 25sin x

Answer 1

$y''+ 4y' + 4y = 25\sin x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного уравнения.

1. Составим и решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''+ 4y' + 4y = 0$

Характеристическое уравнение:

$\lambda^2+4\lambda+4=0$

$(\lambda+2)^2=0$

$\lambda_1=\lambda_2=-2$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$Y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$

2. Частное решение данного неоднородного уравнения ущем в виде:

$\overline{y}=A\sin x+B\cos x$

Тогда:

$\overline{y}'=A\cos x-B\sin x$

$\overline{y}''=-A\sin x-B\cos x$

Подставим все соотношения в исходное уравнение:

$-A\sin x-B\cos x+ 4(A\cos x-B\sin x) + 4(A\sin x+B\cos x) = 25\sin x$

$-A\sin x-B\cos x+ 4A\cos x-4B\sin x + 4A\sin x+4B\cos x = 25\sin x$

$(-A-4B+ 4A)\sin x+(-B+ 4A +4B)\cos x = 25\sin x$

$(3A-4B)\sin x+(4A +3B)\cos x = 25\sin x$

Получаем систему:

$\begin{cases} 3A-4B=25 \\ 4A+3B=0\end{cases}$

Первое уравнение умножаем на 3, а второе на 4:

$\begin{cases} 9A-12B=75 \\ 16A+12B=0\end{cases}$

Сложим уравнения:

$25A=75$

$A=3$

Подставим значение во второе уравнение:

$4\cdot3+3B=0$

$4+B=0$

$B=-4$

Тогда, частное решение имеет вид:

$\overline{y}=3\sin x-4\cos x$

3. Записываем общее решение исходного уравнения:

$y=Y+\overline{y}$

$\boxed{y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}+3\sin x-4\cos x}$

Answer 2

The given differential equation is a linear homogeneous second-order ordinary differential equation with constant coefficients. We can solve it by finding the complementary solution and the particular solution.

1. Complementary Solution: To find the complementary solution, we assume the solution to be in the form of y_c = e^(rx), where r is a constant. Substituting this into the differential equation, we get:

r^2 e^(rx) + 4r e^(rx) + 4 e^(rx) = 0

Dividing the equation by e^(rx), we obtain the characteristic equation:

r^2 + 4r + 4 = 0

Solving this quadratic equation, we find:

(r + 2)^2 = 0 r + 2 = 0 r = -2

Therefore, the complementary solution is y_c = C1 e^(-2x) + C2 x e^(-2x), where C1 and C2 are arbitrary constants.

2. Particular Solution: To find the particular solution, we assume the solution to be in the form of y_p = A sin(x) + B cos(x), where A and B are constants. Substituting this into the differential equation, we get:

• A sin(x) - B cos(x) + 4A cos(x) - 4B sin(x) + 4(A sin(x) + B cos(x)) = 25 sin(x)

Grouping the terms with sin(x) and cos(x), we get:

(-A + 4B + 4A) sin(x) + (4A - B - 4B) cos(x) = 25 sin(x)

Simplifying further, we obtain:

(3A + 3B) sin(x) + (4A - 5B) cos(x) = 25 sin(x)

By comparing the coefficients of sin(x) and cos(x) on both sides, we get the following equations:

3A + 3B = 25 ---(1) 4A - 5B = 0 ---(2)

Solving these simultaneous equations, we find A = 5/7 and B = 20/7.

Therefore, the particular solution is y_p = (5/7) sin(x) + (20/7) cos(x).

3. General Solution: The general solution is given by the sum of the complementary and particular solutions:

y = y_c + y_p = C1 e^(-2x) + C2 x e^(-2x) + (5/7) sin(x) + (20/7) cos(x)

This is the general solution to the given differential equation.