Question

Найти остаток от деления 23^34+56^67 на 9

Answer 1

Два числа называются равными по модулю N, если одно из них получено путем прибавления к другому (или вычитания от другого) некоторого количества раз числа N:

$A\equiv A+kN\pmod{N},\ k\in\mathbb{Z}$

Свойство равенства по модулю:

$A^B\equiv (A+kN)^B\pmod{N},\ k\in\mathbb{Z}$

Числа, равные по модулю N, дают при делении на N равные остатки.

Преобразуем первое слагаемое:

$23^{34}=(-4+3\cdot9)^{34}\equiv(-4)^{34}=4^{34}=2^{68}=2^2\cdot2^{66}=4\cdot(2^3)^{22}=4\cdot8^{22}=$

$=4\cdot(-1+9)^{22}\equiv4\cdot(-1)^{22}=4\cdot1=4\pmod{9}$

Преобразуем второе слагаемое:

$56^{67}=(2+6\cdot9)^{67}\equiv2^{67}=2\cdot2^{66}=2\cdot(2^3)^{22}=2\cdot8^{22}=$

$=2\cdot(-1+9)^{22}\equiv2\cdot(-1)^{22}=2\cdot1=2\pmod{9}$

Тогда:

$23^{34}+56^{67}\equiv4+2=6\pmod{9}$

Число $23^{34}+56^{67}$, также как и равное ему по модулю 9 число 6, дает при делении на 9 остаток 6.

Ответ: 6

Answer 2

Для нахождения остатка от деления выражения на 9, можно воспользоваться свойством модульной арифметики. В данном случае, мы можем разложить каждое слагаемое на сумму, состоящую из числа, сравнимого с этим слагаемым по модулю 9, и некоторого кратного числа 9. Затем мы сможем применить свойство суммирования модулей и вычислить остаток от деления.

Давайте разобьем выражение на составные части и найдем остаток от деления каждой части на 9:

1. Остаток от деления 23^34 на 9: По свойству модульной арифметики, остаток от деления числа a^n на 9 равен остатку от деления числа a на 9, возведенного в степень n. Остаток от деления 23 на 9 равен 5 (23 ≡ 5 (mod 9)). Таким образом, нам нужно найти остаток от деления 5^34 на 9. Рассмотрим некоторые степени числа 5 по модулю 9: 5^1 ≡ 5 (mod 9) 5^2 ≡ 7 (mod 9) 5^3 ≡ 8 (mod 9) 5^4 ≡ 4 (mod 9) 5^5 ≡ 2 (mod 9) 5^6 ≡ 1 (mod 9) Мы видим, что степени числа 5 повторяются с периодом 6 по модулю 9. Остаток от деления 34 на 6 равен 4, поэтому остаток от деления 5^34 на 9 будет таким же, как остаток от деления 5^4 на 9, то есть 4.

2. Остаток от деления 56^67 на 9: Аналогично, остаток от деления 56 на 9 равен 2 (56 ≡ 2 (mod 9)). Мы должны найти остаток от деления 2^67 на 9. Рассмотрим некоторые степени числа 2 по модулю 9: 2^1 ≡ 2 (mod 9) 2^2 ≡ 4 (mod 9) 2^3 ≡ 8 (mod 9) 2^4 ≡ 7 (mod 9) 2^5 ≡ 5 (mod 9) 2^6 ≡ 1 (mod 9) Мы видим, что степени числа 2 повторяются с периодом 6 по модулю 9. Остаток от деления 67 на 6 равен 1, поэтому остаток