Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному проміжку. f(x)=x^2+5/x-2, [3,6]

Answer 1

Ответ:

$y_{max}=14 ~~;~~y_{min}=10$

Объяснение:

$\displaystyle f(x) = \frac{x {}^{2} + 5}{x - 2} \: \: , \: x \in[3;6]$

Производная этой функции:

$\displaystyle f'(x) = ( \frac{x { }^{2} + 5}{x - 2} )'$

Воспользуемся одним из свойств производных:

$\displaystyle \boldsymbol{( \frac{v}{u} )' = \frac{vu' - v'u}{u {}^{2} } }$

$\displaystyle f'(x) = \frac{(x {}^{2} + 5) \cdot(x - 2) ' - (x {}^{2} + 5) ' \cdot (x - 2)}{(x - 2) {}^{2} } = \\ = \frac{(x {}^{2} + 5) \cdot1 - 2x \cdot(x - 2)}{(x - 2) {}^{2} } = \\ = \frac{x { }^{2} + 5 - 2x {}^{2} + 4x }{(x - 2) {}^{2} } = \boldsymbol{ \frac{ x {}^{2} - 4x - 5 }{(x - 2) {}^{2} } }$

Найдём критические точки , f'(x) = 0

$\displaystyle \frac{x {}^{2} - 4x - 5 }{(x - 2) {}^{2} } = 0$

Дробь равна нулю только когда числитель равен нулю

$x {}^{2} - 4x - 5 = 0 \\ D = ( - 4) {}^{2} - 4 \cdot1 \cdot( - 5) = 16 + 20 = 36 \\ x_1 = \frac{ 4 + \sqrt{36} }{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \\ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36} }{2} = \frac{4 - 6}{2} = - 1 \not \in[3;6]$

Найдём значения функции  в точках концов промежутка и в точке 5 , т.к 5 принадлежит промежутку [3;6]

$\displaystyle f(3)=\frac{3^2+5}{3-2} =14\\f(5)=\frac{5^2+5}{5-2} =\frac{30}{3} =10\\f(6)=\frac{6^2+5}{6-2} =\frac{41}{4} =10,25$

f(3) - наибольшее ; f(5) - наименьшее

Answer 2

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції f(x) = x^2 + 5/(x - 2) на проміжку [3, 6], спочатку треба знайти критичні точки на цьому проміжку. Критичні точки - це точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = 2x - 5/(x - 2)^2.

2. Поставимо рівняння f'(x) = 0 і розв'яжемо його: 2x - 5/(x - 2)^2 = 0.

Множимо обидві частини на (x - 2)^2: 2x(x - 2)^2 - 5 = 0.

Розкриваємо дужки: 2x(x^2 - 4x + 4) - 5 = 0, 2x^3 - 8x^2 + 8x - 5 = 0.

Це кубічне рівняння, яке можна розв'язати числово або за допомогою числових методів, таких як метод Ньютона.

3. Після знаходження критичних точок на проміжку [3, 6], обчислюємо значення функції f(x) в цих точках разом з кінцевими точками проміжку [3, 6].

4. Найменше значення функції f(x) буде відповідати одній з цих точок, а найбільше значення - іншій точці.

Зауважте, що розв'язок кубічного рівняння може бути складним або ірраціональним, тому зазвичай використовують числові методи для його наближеного розв'язання. У даному випадку, без числових значень, точні значення найбільшого і найменшого значення функції на проміжку [3, 6] не можна точно обчислити.