Question

Найдите коэффициент при x⁴ в биномиальным разложении (x+4)⁶​

Answer 1

Ответ:

Бином Ньютона:  

$\bf (a+b)^{n}=C_{n}^0a^{n}+C^1_na^{n-1}b+C_{n}^2a^{n-2}b^2+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}\ ,\\\\C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\ (n-k)!}$  

$(x+4)^6=C_6^0\, x^6+C_{6}^1\, x^5\cdot 4+C_{6}^2\, x^4\cdot 4^2+...\\\\C_{6}^2\, x^4\cdot 4^2=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot x^4\cdot 16=\dfrac{4!\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 4!}\cdot x^4\cdot 16=5\cdot 3\cdot 16\cdot x^4=\bf 240\, x^4$  

При  $\bf x^4$  коэффициент равен  240  .

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x⁴ в биномиальном разложении (x+4)⁶ нам понадобится разложить выражение в сумму членов.

Используя биномиальную формулу, разложим (x+4)⁶: (x+4)⁶ = C(6,0) * x⁶ * 4⁰ + C(6,1) * x⁵ * 4¹ + C(6,2) * x⁴ * 4² + C(6,3) * x³ * 4³ + C(6,4) * x² * 4⁴ + C(6,5) * x¹ * 4⁵ + C(6,6) * x⁰ * 4⁶

Теперь посмотрим на коэффициент при x⁴. Он появляется только в одном члене: C(6,2) * x⁴ * 4².

C(6,2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15

Таким образом, коэффициент при x⁴ равен 15 * x⁴ * 4² = 15 * x⁴ * 16 = 240x⁴.

Ответ: Коэффициент при x⁴ в биномиальном разложении (x+4)⁶ равен 240.