Question

Розв'яжіть диференціальні рівняння, що допускає зниження y"= cos4x+x3

Answer 1

Відповідь:      у = - 1/16 cos4x + 1/20 x⁵ + C₁x + C₂ .

Пояснення:

y " = cos4x+x³  ;   інтегруємо по  х :

 у ' = ∫( cos4x + x³ )dx = 1/4 sin4x + 1/4 x⁴ + C₁ ; інтегруємо ще раз :

 у = ∫( 1/4 sin4x + 1/4 x⁴ + C₁ )dx = - 1/16 cos4x + 1/20 x⁵ + C₁x + C₂ ;

              у = - 1/16 cos4x + 1/20 x⁵ + C₁x + C₂ .

Answer 2

Для розв'язання даного диференціального рівняння, спочатку перепишемо його у вигляді звичайної системи диференціальних рівнянь першого порядку.

Позначимо y' = v (де v - це похідна від y по відношенню до x). Тоді y" = v' = dv/dx.

Підставимо ці позначення у дане рівняння:

v' = cos(4x) + x^3.

Отримуємо систему:

v' = cos(4x) + x^3, y' = v.

Тепер розв'яжемо цю систему. Запишемо її у векторній формі:

u' = f(x, u),

де u = [y, v] - вектор невідомих функцій, а f(x, u) = [v, cos(4x) + x^3].

Застосуємо числові методи розв'язання цієї системи, наприклад, метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Розділимо інтервал x на кроки h, і для кожного кроку обчислимо нові значення u використовуючи такі формули:

k1 = h * f(x, u), k2 = h * f(x + h/2, u + k1/2), k3 = h * f(x + h/2, u + k2/2), k4 = h * f(x + h, u + k3).

Потім обчислимо нові значення u за формулою:

u_new = u + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6.

Повторюємо цей процес для кожного кроку x, збільшуючи його на h, поки не досягнемо бажаної точки.

Оскільки у нас немає вказівки щодо початкових умов (наприклад, значень y та v в певній точці), розв'язок буде виглядати у вигляді загальної функції.