Question

Знайдіть найменший корінь рівняння 2log4^2 x-log4 x-1=0

Answer 1

Ответ:

$\sf x=0,5$

Объяснение:

$\sf 2log^2_4x-log_4x-1=0$

ОДЗ логарифма: $\sf x > 0\Rightarrow x\in(0;+\infty)$.

пусть $\sf log_4x=\alpha$, тогда:  $\sf 2\alpha^2-\alpha-1=0$.

по т. Виета: $\displaystyle \sf\left \{ {{\alpha_1+\alpha_2=0,5,} \atop {\alpha_1\alpha_2=-0,5;}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{\alpha_1=1,} \atop {\alpha_2=-0,5}} \right.$

обратная замена: $\displaystyle\sf \left \{ {{log_4x=1,} \atop {log_4x=-0,5;}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_1=4,} \atop {x_2=1/2}} \right.$

оба найденных решения удовлетворяют ОДЗ, указываем меньшее:$\sf x=0,5$.

Answer 2

Для знаходження коренів рівняння, спробуємо спростити його спочатку.

Ми маємо рівняння: 2log₄²x - log₄x - 1 = 0.

Застосуємо властивості логарифмів для спрощення рівняння:

2log₄²x = log₄(x²) log₄x - log₄x = 0

Отримаємо наступне спрощене рівняння:

log₄(x²) - log₄x - 1 = 0.

Застосуємо правило для віднімання логарифмів з однаковим основою:

log₄(x²/x) - 1 = 0.

log₄(x) - 1 = 0.

log₄(x) = 1.

Тепер ми маємо логарифмічне рівняння з основою 4:

x = 4¹.

x = 4.

Таким чином, найменший корінь рівняння 2log₄²x - log₄x - 1 = 0 є x = 4.