Question

Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=4 \ x+y+z=2 \ xy+yz+xz=1 \end{cases}$ Необходимо найти значения $x, y$ и $z$. Эта задача достаточно сложная, так как требует применения метода Лагранжа и решения системы уравнений. Также в ней присутствуют уравнения со степенями выше первой, что делает ее более сложной, чем типичные задачи по алгебре. Эту задачу дали в моем институте, мне достаточно сложно ее решить, но вдруг, если у кого-то получится, дают 100 баллов.

Answer 1

Ответ:

Для решения данной системы уравнений мы можем использовать метод Лагранжа. Для этого мы должны сформировать функцию Лагранжа, которая будет определяться следующим образом:

$L(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2-4+\lambda(x+y+z-2)+\mu(xy+yz+xz-1)$

Здесь $\lambda$ и $\mu$ - множители Лагранжа, которые мы будем определять позже. Нам необходимо найти значения $x$, $y$ и $z$, при которых функция Лагранжа достигает минимума или максимума. Для этого мы должны решить систему уравнений, которая состоит из уравнения функции Лагранжа и двух дополнительных уравнений, которые определяют ограничения на значения $x$, $y$ и $z$:

$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda+\mu y+\mu z=0 \\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda+\mu x+\mu z=0 \\frac{\partial L}{\partial z}=2z+\lambda+\mu x+\mu y=0 \\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y+z-2=0 \\frac{\partial L}{\partial \mu}=xy+yz+xz-1=0 \\end{cases}$

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод Гаусса или метод Крамера. После решения мы получим значения $x$, $y$ и $z$:

$x=-\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$z=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Таким образом, решением данной системы уравнений является $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ и $z=\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановок. Начнем с третьего уравнения:

$xy + yz + xz = 1$

Мы можем выразить $z$ через $x$ и $y$:

$z = \frac{1 - xy}{x + y}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$x + y + \frac{1 - xy}{x + y} = 2$

Упростим это уравнение, умножив обе части на $x + y$:

$(x + y)^2 + 1 - xy = 2(x + y)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2xy + y^2 + 1 - xy = 2x + 2y$

Получаем:

$x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Мы также знаем, что сумма корней этого уравнения равна 2, поэтому можем использовать это свойство. Предположим, что $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения. Тогда имеем:

$x_1 + x_2 = 2$

Теперь мы можем использовать эту сумму корней, чтобы решить квадратное уравнение:

$x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = (x - x_1)(x - x_2) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 + xy + y^2 - 2y + 1 = 0$

$x^2 - 2x + (x_1x_2 + xy + y^2 - 2y + 1) = 0$

Мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в исходном уравнении и в этом новом квадратном уравнении:

$x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = x^2 - 2x + (x_1x_2 + xy + y^2 - 2y + 1) = 0$

Таким образом, имеем:

$x_1x_2 = -2$

Теперь мы можем найти значения $x_1$ и $x_2$, которые являются корнями квадратного уравнения, учитывая эту информацию.

Теперь рассмотрим первое уравнение:

$x^2 + y^2 + z^2 = 4$

Мы можем выразить $z^2$ через $x$, $y$, $x_1$ и $x_2$:

$z^2 = 4 - x^2 - y^2 =