Question

Визначити суму п`яти перших членів геометричної прогресії , якщо відомо, що b1+b4=18. b2+b3=12

Answer 1

Ответ:

Позначимо перший член геометричної прогресії як b1, а знаменник - як q. Тоді, за визначенням геометричної прогресії, другий, третій і четвертий члени будуть відповідно b2 = b1q, b3 = b1q^2 та b4 = b1*q^3.

З умови задачі маємо систему рівнянь:

b1 + b4 = 18, (1)

b2 + b3 = 12. (2)

Підставляємо вирази для b4 та b3:

b1 + b1q^3 = 18,

b1q + b1*q^2 = 12.

Можна переписати останнє рівняння у вигляді:

b1*q(1 + q) = 12.

Залишається виразити q з першого рівняння:

b4 = b1*q^3 = (18 - b1).

Підставляємо це значення у вираз для b1*q(1 + q):

b1q(1 + q) = 12,

b1q(1 + q) = 12 / (18 - b1) * (1 + q)^4 * (1 - q),

q^2 + q(1 - 2b1/(18-b1)) - 3/4 = 0.

Знаходимо корені цього квадратного рівняння:

q1 = -3/4, q2 = 1/2.

Так як q - знаменник прогресії, q1 відкидаємо, бо q не може бути від'ємним.

Отже, знаменник геометричної прогресії дорівнює q2 = 1/2, а перший її член b1 можна знайти з першого рівняння:

b1 + b1*(1/2)^3 = 18,

b1 = 12.

Таким чином, перші п'ять членів прогресії дорівнюють:

b1 = 12,

b2 = 6,

b3 = 3,

b4 = 9,

b5 = 4.5.

Сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює:

b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 12 + 6 + 3 + 9 + 4.5 = 34.5.

Отже, сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює 34.5.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам необхідно використати формулу для суми перших n членів геометричної прогресії.

Загальна формула для n-го члена геометричної прогресії має вигляд: bn = b1 * r^(n-1), де b1 - перший член прогресії, r - співвідношення прогресії.

За умовою задачі, ми знаємо, що b1 + b4 = 18 і b2 + b3 = 12.

Ми можемо використати ці рівняння для знаходження значень b1, r.

Запишемо систему рівнянь:

b1 + b4 = 18 ---(1) b2 + b3 = 12 ---(2)

Ми знаємо, що в геометричній прогресії, другий член дорівнює першому члену помноженому на r. Таким чином, можемо замінити b2 і b3 у рівнянні (2):

b1 * r + b1 * r^2 = 12 b1 * r(1 + r) = 12 ---(3)

Подібним чином, третій член можна записати як:

b1 * r^2 + b1 * r^3 = 18 b1 * r^2(1 + r) = 18 ---(4)

Ділимо рівняння (4) на рівняння (3):

(b1 * r^2(1 + r))/(b1 * r(1 + r)) = 18/12 r = 3/2

Підставимо значення r у рівняння (3) для знаходження b1:

b1 * (3/2)(1 + 3/2) = 12 b1 * (3/2)(5/2) = 12 b1 * (15/4) = 12 b1 = (12 * 4)/15 b1 = 16/5

Отже, ми знаємо, що перший член прогресії b1 = 16/5 і співвідношення прогресії r = 3/2.

Тепер ми можемо використати формулу для суми перших n членів геометричної прогресії:

S_n = b1 * (1 - r^n) / (1 - r),

де S_n - сума перших n членів прогресії.

Знаючи значення b1, r та n = 5,