Question

Доведіть нерівність x 2 + 10y 2 + 6xy − 8y + 16 ≥ 0.З повним поясненням будь ласка ​

Answer 1

$x^2+10y^2+6xy-8y+16=(x^2+6xy+9y^2)+(y^2-8y+16)=(x+3y)^2+(y-4)^2$

Квадрат числа невід'ємний, тому $(x+3y)^2\geq 0$ та $(y-4)^2\geq 0$

З цього випливає, що $(x+3y)^2+(y-4)^2\geq 0$, а значить і $x^2+10y^2+6xy-8y+16\geq 0$

Answer 2

Давайте розглянемо нерівність x^2 + 10y^2 + 6xy - 8y + 16 ≥ 0 і спробуємо довести її.

Спочатку розглянемо квадратичну частину нерівності: x^2 + 10y^2 + 6xy. Ми можемо розкласти цю частину на квадратичний тричлен відносно x та y, використовуючи техніку завершення квадрату:

x^2 + 10y^2 + 6xy = x^2 + 2xy + 8xy + 10y^2 = (x + 2y)^2 + 8xy + 10y^2.

Тепер, підставляємо це у нерівність:

(x + 2y)^2 + 8xy + 10y^2 - 8y + 16 ≥ 0.

Далі, спрощуємо вираз:

(x + 2y)^2 + 8xy + 10y^2 - 8y + 16 ≥ 0.

Тепер ми можемо перетворити цей вираз на суму квадратів:

(x + 2y)^2 + 8xy + 10y^2 - 8y + 16 = (x + 2y)^2 + 2xy + 8xy + 10y^2 - 8y + 16 = (x + 2y)^2 + 2xy + 8xy + 10y^2 - 8y + 4^2.

Тепер ми можемо побачити, що вираз складається з суми квадратів:

(x + 2y)^2 + 2xy + 8xy + 10y^2 - 8y + 4^2 = (x + 2y)^2 + 2xy + 8xy + (5y - 2)^2.

Оскільки квадрати ніколи не можуть бути від'ємними, то ми можемо стверджувати, що кожен доданок вищенаведеного виразу не менше 0.

Таким чином, ми довели нерівність:

(x + 2y)^2 + 2xy + 8xy + (5y - 2)^2 ≥ 0.

Отже, початкова нерівність x^2 + 10y^2 + 6xy - 8y + 16 ≥ 0 справедлива для будь-яких значень x та y.