Question

Для функції f(x)=tgxctgx-2cosx/2 знайти первісну графік якої проходить через точку A(2п,2п)

Answer 1

предлагаю для начала упростить функцию

$\displaystyle y=tg \ x *ctg \ x \ -\frac{2cos\ x}{2 } \\\\ y=\frac{sin\ x}{cos\ x} * \frac{cos \ x}{sin \ x} - cos\ x \\\\ y = 1-cos \ x$

теперь находим общий вид первообразных этой функции

$\displaystyle F(x) = \int\limits{(1-cos \ x)} \, dx = x - sin \ x + C$

подставляем F(x) = 2π, x = 2π

2π - sin (2π) + C = 2π

0 + C = 2π - 2π

C = 0

F(x) = x - sin x

2) если делитель два относится исключительно к х:

$\displaystyle f(x) = tg \ x *ctg \ x - 2cos\frac{x}{2} \\\\ y=\frac{sin\ x}{cos\ x} * \frac{cos \ x}{sin \ x} - 2cos \frac{x}{2} \\\\ y = 1-2cos \frac{x}{2}$

находим общий вид первообразных этой функции

$\displaystyle F(x)=\int( 1-2cos \frac{x}{2}) \ dx = x - \frac{1}{\frac{1}{2} }*2*sin\frac{x}{2} +C = x-4sin\frac{x}{2}+C$

подставляем F(x) = 2π, x = 2π

2π - 4sin(2π/2) + C = 2π

-4sin π + C = 2π - 2π

C = -4*0

C = 0

F(x) = x - 4sin(x/2)

Answer 2

Відповідь: фото

Пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 3

Щоб знайти первісну функцію для даної функції f(x), нам потрібно обчислити невизначений інтеграл цієї функції. Згідно з теорією, первісна функції f(x) буде функцією F(x), для якої F'(x) = f(x).

Почнемо з обчислення похідної f(x):

f'(x) = (tg(x) * ctg(x)) - 2 * cos(x/2)

Тепер знайдемо первісну функції f'(x), виконавши інтегрування по частинам:

∫ f'(x) dx = ∫ [(tg(x) * ctg(x)) - 2 * cos(x/2)] dx

Застосуємо формулу інтегрування по частинам:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx

У цьому випадку можемо вибрати:

u = tg(x), v = ctg(x) u' = sec²(x), ∫ v dx = ln|sin(x)|

Застосуємо ці значення:

∫ [(tg(x) * ctg(x)) - 2 * cos(x/2)] dx = ∫ (tg(x) * ctg(x)) dx - ∫ (2 * cos(x/2)) dx = tg(x) * ln|sin(x)| - 2 * ∫ cos(x/2) dx = tg(x) * ln|sin(x)| - 4 * sin(x/2) + C

Тут C - це довільна константа, що представляє загальний член невизначеного інтегралу.

Тепер ми маємо первісну функцію F(x) = tg(x) * ln|sin(x)| - 4 * sin(x/2) + C.

Щоб графік первісної функції проходив через точку A(2π, 2π), підставимо x = 2π у функцію F(x) і знайдемо значення C:

2π = tg(2π) * ln|sin(2π)| - 4 * sin(2π/2) + C

2π = 0 * ln(0) - 4 * 0 + C

2π = C

Отже, значення C дорівнює 2π.

Таким чином, графік первісної функції, який проходить через точку A(2π, 2π), задається функцією F(x) = tg(x) * ln|sin(x)| - 4 * sin(x/2) + 2π.