Question

Доведіть, що число √(5 - √12)² + √(3-/12)² раціональне фастом​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Щоб довести, що число є раціональним, ми можемо спростити вираз квадратного кореня за допомогою основних алгебраїчних маніпуляцій.

Починаючи з заданого виразу:

√(5 - √12)² + √(3/12)²

= (5 - √12) + (√3/2)

Подальше спрощення, ми можемо раціоналізувати знаменник другого члена:

= (5 - √12) + (√3/2) * (√2/√2)

= (5 - √12) + (√6/4)

Далі ми можемо об’єднати два терміни під спільним знаменником:

= (5 - √12) * (4/4) + (√6/4)

= (20 - 4√12 + √6)/4

Тепер ми можемо ще більше спростити вираз, віднявши 2 від чисельника:

= (10 - 2√12 + √6)/2

= 5 - √3 + (1/2)√2

Цей кінцевий вираз явно є сумою трьох раціональних чисел (5, -√3 і (1/2)√2), а тому є раціональним числом.

Answer 2

Давайте спробуємо спростити вираз √(5 - √12)² + √(3 - √12)² і побачимо, чи отримаємо раціональне число.

1. Почнемо з першого доданка: √(5 - √12)². За допомогою ідентичності a² - 2ab + b² = (a - b)², ми можемо переписати цей доданок як (5 - √12)². Розкриваємо квадрат: (5 - √12)² = 5² - 2 * 5 * √12 + (√12)² = 25 - 10√12 + 12 = 37 - 10√12.

2. Перейдемо до другого доданка: √(3 - √12)². Аналогічно до першого доданка, цей доданок можна записати як (3 - √12)². Розкриваємо квадрат: (3 - √12)² = 3² - 2 * 3 * √12 + (√12)² = 9 - 6√12 + 12 = 21 - 6√12.

Тепер давайте додамо ці два доданки разом: (37 - 10√12) + (21 - 6√12) = 37 + 21 - 10√12 - 6√12 = 58 - 16√12.

Тепер зауважимо, що √12 = 2√3. Ми можемо замінити це значення виразом: 58 - 16√12 = 58 - 16 * 2√3 = 58 - 32√3.

Зауважимо, що число √3 є ірраціональним числом. Це можна легко підтвердити, розглядаючи десяткове представлення √3, яке має безкінечну послідовність невипадкових цифр після десяткової крапки.

Отже, ми отримали число 58 - 32√3, де √3 є ірраціональним числом. Тому число √(5 - √12)² + √(3 - √12)² є ірраціональним, а не раціональним.