Question

Знайти екстримуми функції та екстремальні значення у=3+9х²-х³​

Answer 1

Для нахождения экстремумов функции y = 3 + 9x^2 - x^3 необходимо вычислить её производную и приравнять её к нулю:
y' = 18x - 3x^2 = 0
Факторизуем это выражение:
3x(6 - x) = 0
Отсюда получаем две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = 6.

Таким образом, экстремумы функции y = 3 + 9x^2 - x^3: локальный максимум в точке (0, 3) и локальный минимум в точке (6, 207).

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції у=3+9х²-х³, спочатку знайдемо її похідну, а потім прирівняємо її до нуля і розв'яжемо це рівняння. Знайдені значення x будуть потенційними точками екстремуму. Після цього перевіримо другу похідну для кожної точки, щоб визначити, чи є ці точки максимумами чи мінімумами.

1. Знайдемо похідну функції: у' = 18х - 3х².

2. Прирівняємо похідну до нуля: 18х - 3х² = 0.

3. Розв'яжемо рівняння: 3х(6 - х) = 0.

   Звідси ми отримуємо два значення x: x₁ = 0 і x₂ = 6.

4. Перевіримо другу похідну для кожної знайденої точки: у'' = 18 - 6х.

   a) Для x = 0: у''(0) = 18 - 6(0) = 18. Оскільки у''(0) > 0, то це підтверджує, що x = 0 є мінімальним значенням.

   б) Для x = 6: у''(6) = 18 - 6(6) = -18. Оскільки у''(6) < 0, то це підтверджує, що x = 6 є максимальним значенням.

Отже, функція у = 3 + 9х² - х³ має мінімум у точці (0, 3) і максимум у точці (6, 603).