Question

x,y,z - натуральные числа , такие что делится на 105. Найти наименьшее возможное значение x + y + z

Answer 1

Ответ:

7.

Объяснение:

Заметим, что 105=3·5·7.

Разберемся сначала с делимостью исследуемой суммы на 3. Поскольку $5^y+7^z$ должно делиться на 3, а 5 сравнимо с минус 1 по модулю 3, 7 сравнимо с 1 по модулю 3, делаем. вывод, что

                                    y - нечетное число.

Если, например, y=1, а x=2, $5^y=5^1=5$ сравнимо с минус 2 по модулю 7, а $3^x=3^2=9$  сравнимо с 2 по модулю 7, то есть кроме делимости левой части на 3 мы обеспечили делимость на 7. Перебрав маленькие значения z, находим, что z=4 обеспечивает делимость и на 5:   3²=9 сравнимо с минус 1 пор модулю 5, $7^4\equiv 2^4\equiv 1\ (\mod 5).$ Итак, набор x=2; y=1; z=4 нам подходит, x+y+z=7.

Докажем, что уменьшить эту сумму нельзя. Ясно, что достаточно ограничиться значениями неизвестных от 1 до 4, поэтому y=1 или y=3.

Пусть y=1. Перебрав все x от 1 до 4, видим, что на 7 сумма $3^x+5$ делится только при x=2, и мы возвращаемся к уже найденной тройке x=2; y=1; z=4.

Пусть y=3. Тогда для x остаются только значения 1 и 2 (иначе x+y+z будет не меньше 7). Но оба случая мы отвергаем, поскольку нарушается делимость на 7.

Итак, доказано, что уменьшить сумму нельзя.    

Answer 2

Чтобы найти наименьшее возможное значение x + y + z, которое делится на 105, нужно найти наименьшие значения x, y и z, такие что их сумма делится на 105.

Число 105 можно разложить на простые множители: 105 = 3 * 5 * 7. Чтобы сумма трех чисел делилась на 105, каждое из них должно делиться на эти простые множители.

Наименьшее натуральное число, которое делится на 3, это 3. Наименьшее натуральное число, которое делится на 5, это 5. Наименьшее натуральное число, которое делится на 7, это 7.

Следовательно, наименьшие возможные значения x, y и z равны 3, 5 и 7 соответственно.

Таким образом, наименьшее возможное значение x + y + z, которое делится на 105, равно 3 + 5 + 7 = 15.