Question

СРОЧНО ДАМ 20 БАЛЛОВ Найдите число, которое при делении на 4, 7 и 11 дает соответственно остатки 2, 1 и 6, причем сумма долей на 2 меньше половины искомого числа.

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках. Согласно теореме, если у нас есть система уравнений вида:

x ≡ a (mod m)

x ≡ b (mod n)

x ≡ c (mod p)

где m, n и p - попарно взаимно простые числа, а a, b и c - соответствующие остатки, то существует решение, которое можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида.

В данной задаче у нас следующие условия:

x ≡ 2 (mod 4)

x ≡ 1 (mod 7)

x ≡ 6 (mod 11)

Используя расширенный алгоритм Евклида, получим:

Для уравнений x ≡ 2 (mod 4) и x ≡ 1 (mod 7):

Найдем наибольший общий делитель(НОД) 4 и 7:

7 = 1 * 4 + 3

4 = 1 * 3 + 1

3 = 3 * 1 + 0

Наш НОД равен 1, поэтому числа 4 и 7 взаимно простые.

Для уравнений x ≡ 2 (mod 4) и x ≡ 1 (mod 7):

Используя расширенный алгоритм Евклида, найдем коэффициенты:

4 * 1 + 7 * (-1) = 1

Подставляем полученные коэффициенты:

2 * 7 * (-1) + 1 * 4 * 1 = -14 + 4 = -10 ≡ 2 (mod 28)

Теперь рассмотрим следующую пару уравнений x ≡ -10 (mod 28) и x ≡ 6 (mod 11):

Найдем НОД(28, 11):

28 = 2 * 11 + 6

11 = 1 * 6 + 5

6 = 1 * 5 + 1

5 = 5 * 1 + 0

Наш НОД равен 1, поэтому числа 28 и 11 взаимно простые.

Используя расширенный алгоритм Евклида, найдем коэффициенты:

28 * (-1) + 11 * 3 = 1

Подставляем полученные коэффициенты:

-10 * 11 * 3 + 6 * 28 * (-1) = -330 + (-168) = -498 ≡ 6 (mod 308)

Таким образом, число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, это 6

Answer 2

Давайте решим эту задачу поэтапно.

Пусть искомое число равно N. Мы знаем, что N при делении на 4 даёт остаток 2, на 7 даёт остаток 1 и на 11 даёт остаток 6.

1. Рассмотрим деление на 4. Остаток 2 означает, что N имеет вид N = 4k + 2, где k - целое число.
2. Рассмотрим деление на 7. Из условия задачи следует, что (4k + 2) mod 7 = 1. Решим это сравнение: 4k + 2 ≡ 1 (mod 7) 4k ≡ -1 (mod 7) 4k ≡ 6 (mod 7) (поскольку -1 mod 7 = 6) k ≡ 6 * 4^(-1) ≡ 6 * 2 ≡ 12 ≡ 5 (mod 7) Здесь 4^(-1) обозначает обратный элемент 4 по модулю 7, то есть число, при умножении на которое 4 даёт остаток 1 при делении на 7. Таким образом, мы нашли, что k имеет вид k = 7m + 5.
3. Подставим найденное значение k обратно в выражение для N: N = 4k + 2 = 4(7m + 5) + 2 = 28m + 22.

Теперь нам нужно найти такое значение m, чтобы сумма долей на 2 была меньше половины искомого числа N.

Сумма долей на 2 составляет (N/2) mod 2. Из условия задачи мы знаем, что эта сумма меньше половины N. То есть: (N/2) mod 2 < N/2.

Подставим выражение для N: ((28m + 22)/2) mod 2 < (28m + 22)/2.

Упростим это выражение: (14m + 11) mod 2 < 14m + 11.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если (14m + 11) mod 2 = 0, то условие выполняется автоматически.
2. Если (14m + 11) mod 2 = 1, то решение задачи не существует.

Таким образом, мы получаем, что для некоторых значений m = 7t (где t - целое число) условие задачи выполняется, а для других значений решения не существует.

Итак, искомое число N равно: N = 28m + 22 = 28(7t) + 22 = 196t + 22.

Таким образом, все числа, имеющие вид 196t +