Question

Пжпжжпжпжп Cos²x-tg²x=1

Answer 1

$\cos^2x-\mathrm{tg}^2x=1$

$1-\cos^2x+\mathrm{tg}^2x=0$

Воспользуемся следствием из основного тригонометрического тождества:

$\sin^2x+\mathrm{tg}^2x=0$

$\sin^2x+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x} =0$

$\sin^2x\left(1+\dfrac{1}{\cos^2x}\right) =0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Первый случай:

$\sin^2x=0$

$\sin x=0$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Второй случай:

$1+\dfrac{1}{\cos^2x} =0$

$\dfrac{1}{\cos^2x} =-1$

$\cos^2x =-1$

Квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения. Следовательно, этот случай не дает решений.

Ответ: $\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Изначально, давайте рассмотрим исходное уравнение: cos²(x) - tan²(x) = 1.

Используем тригонометрические тождества для переписывания и упрощения выражения.

1. tan²(x) = sin²(x) / cos²(x) (тангенс в виде отношения синуса к косинусу)
2. cos²(x) = 1 - sin²(x) (косинусовидное тождество)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

cos²(x) - (sin²(x) / cos²(x)) = 1

Теперь умножим все члены уравнения на cos²(x), чтобы избавиться от знаменателя во втором слагаемом:

cos²(x) * cos²(x) - sin²(x) = cos²(x)

Раскроем скобки:

cos⁴(x) - sin²(x) = cos²(x)

Заметим, что мы получили квадратное уравнение относительно cos²(x). Перепишем его в канонической форме:

cos⁴(x) - cos²(x) - sin²(x) = 0

Теперь введем замену y = cos²(x), исходное уравнение становится:

y² - y - sin²(x) = 0

Решим это квадратное уравнение относительно y:

y = (1 ± √(1 + 4sin²(x))) / 2

Так как y = cos²(x), получаем:

cos²(x) = (1 ± √(1 + 4sin²(x))) / 2

Теперь выражение в скобках должно быть неотрицательным, чтобы иметь действительные значения. Это означает:

1 + 4sin²(x) ≥ 0

4sin²(x) ≥ -1

sin²(x) ≥ -1/4

Так как sin²(x) является квадратом синуса, оно всегда неотрицательно. Следовательно, это условие выполняется для любого значения x.

Таким образом, исходное уравнение cos²(x) - tan²(x) = 1 имеет решение для любого действительного значения x.