Question

Найдите общее решение уравнения у’’+у’-2у=0

Answer 1

Объяснение:

y''+y'-2y=0 = это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.           ⇒

Характеристическое уравнение имеет вид :

k²+k-2=0

k²+2k-k-2=0

k*(k+2)-(k+2)=0

(k+2)*(k-1)=0

k+2=0

k₁=-2

k-1=0

k₂=1

Kорни  k₁=-2 и k₂=1  - вещественные и различные.          ⇒

Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид:

                                      $y=C_1e^{x}+C_2e^{-2x}.$

Answer 2

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти его общее решение, мы можем сначала найти характеристическое уравнение, а затем использовать его корни для построения общего решения.

Характеристическое уравнение связано с исходным уравнением следующим образом:

r^2 + r - 2 = 0,

где r - неизвестная переменная. Решим это уравнение для нахождения корней:

(r + 2)(r - 1) = 0.

Из этого получаем два корня: r1 = -2 и r2 = 1.

Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения:

y(x) = c1 * exp(r1 * x) + c2 * exp(r2 * x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные, а exp(x) - экспоненциальная функция e^x.

Таким образом, общее решение уравнения у'' + у' - 2у = 0 выглядит следующим образом:

y(x) = c1 * exp(-2x) + c2 * exp(x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.