Question

9) Исследуйте функцию функцию и постройте график: f(x) = (x-1) (x²-5x + 4)​

Answer 1

Для исследования функции f(x) = (x-1)(x²-5x+4), мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения с осями координат. Чтобы найти точку пересечения с осью x, мы должны решить уравнение f(x) = 0. Для нашей функции это будет: (x-1)(x²-5x+4) = 0

   Раскрывая скобки, получаем: (x-1)(x-1)(x-4) = 0

   Это уравнение имеет три решения: x = 1, x = 1 и x = 4. Заметим, что два решения x = 1 повторяются, поэтому у нас есть две точки пересечения с осью x: (1, 0) и (4, 0).

2. Найдите вершину параболы. Функция f(x) имеет вид (x-1)(x²-5x+4), который можно представить в виде квадратного трехчлена. Для нахождения вершины параболы можно воспользоваться формулой x = -b/(2a), где уравнение квадратного трехчлена имеет вид ax² + bx + c. В нашем случае a = 1, b = -5, c = 4.

   x = -(-5) / (2*1) = 5/2 = 2.5

   Для нахождения соответствующего значения y мы подставляем x = 2.5 обратно в функцию f(x): f(2.5) = (2.5-1)(2.5²-5(2.5)+4) = (1.5)(6.25-12.5+4) = (1.5)(-2.25) = -3.375

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (2.5, -3.375).

3. Определите направление открытия параболы. Коэффициент при x² в нашем уравнении равен 1, что означает, что парабола открывается вверх.

4. Определите поведение функции вне интервала между точками пересечения с осью x. Мы знаем, что функция открывается вверх и имеет корни в точках x = 1 и x = 4. Значит, функция будет положительной вне этого интервала.

Теперь построим график функции f(x):

markdownCopy code
   ^
   |         *
   |        *
   |       *
   |      *
   |     *
   |    *
   |   *
   |  *
   | *                      *
   |*          *
   |______________________________>
    1  2  3