Question

Упростить выражение sin(π/6+α)-sin(5π/6-α)​

Answer 1

Ответ:

Применяем формулу разности синусов  

 $\bf sin\alpha -sin\beta =2\cdot sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}$   .

$\bf sin\Big(\dfrac{\pi }{6}+\alpha \Big)-sin\Big(\dfrac{5\pi }{6}-\alpha \Big)=\\\\\\=2\cdot sin\dfrac{\Big(\dfrac{\pi}{6}+\alpha+\dfrac{5\pi }{6}-\alpha \Big)}{2}\cdot cos\dfrac{\dfrac{\pi}{6}+\alpha -\dfrac{5\pi }{6}+\alpha }{2}=\\\\\\=2\cdot sin\dfrac{\pi }{2}\cdot cos\Big(-\dfrac{4\pi }{6}+\alpha \Big)=2\cdot cos\Big(\alpha -\dfrac{2\pi }{3}\Big)$      

Answer 2

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся формулой для разности синусов:

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B).

Применим эту формулу к нашему выражению:

sin(π/6 + α) - sin(5π/6 - α) = sin(π/6)cos(α) + cos(π/6)sin(α) - (sin(5π/6)cos(α) - cos(5π/6)sin(α)).

Теперь мы можем использовать известные значения синусов и косинусов:

sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2, sin(5π/6) = 1/2, cos(5π/6) = -√3/2.

Подставим эти значения в выражение:

(1/2)(cos(α)) + (√3/2)(sin(α)) - (1/2)(cos(α)) + (-√3/2)(sin(α)).

Заметим, что первое и последнее слагаемые отменяются, оставляя только:

(√3/2)(sin(α)) - (-√3/2)(sin(α)).

Таким образом, упрощенное выражение равно:

2(√3/2)(sin(α)) = √3sin(α).

Таким образом, упрощенное выражение равно √3sin(α).