Question

Розв’яжіть систему рівнянь: {х^2+3ху=18 3у^2+ху=6)

Answer 1

Розв'язок:

1. З одного з рівнянь можна виразити змінну y через x:

3y^2 + xu = 6

y^2 = (6 - xu) / 3

y = ± √((6 - xu) / 3)

2. Підставимо цей вираз для y в друге рівняння:

x^2 + 3xu = 18

3(6 - xu)/3 + x(±√((6 - xu) / 3)) = 18

3. Скоротимо чисельник і дістанемо х відносно ±√((6 - xu) / 3)) :

6 - xu + x(±√((6 - xu) / 3)) = 18

x(±√((6 - xu) / 3)) = 12 - 6 + xu

x(±√((6 - xu) / 3)) = 6 + xu

x^2(6 - xu) / 3 = (6 + xu)^2 / 3

x^2(6 - xu) = (6 + xu)^2

4. Розв'яжемо це рівняння відносно x:

6x^3 - 13x^2u + 6xu^2 - u^2 * 36 = 0

5. Знайдемо корені цього рівняння. Один з коренів - x = 0 - здебільшого очевидний, тому спробуємо розкласти поліном на добуток двох членів, один з яких - x = 0:

6x^3 - 13x^2u + 6xu^2 - u^2 * 36 = 0

6x(x^2 - u^2) - u^2(6x - 36) = 0

6x(x - u)(x + u) - 6u^2(x - 6) = 0

6(x - u)((x + u) - 6u) = 0

Отже, маємо два корені: x = u і x = 6u - u^2. Підставимо ці значення x у перше рівняння системи, щоб знайти відповідні значення y:

Для x = u:

x^2 + 3xu = 18

u^2 + 3u^2 = 18

4u^2 = 18

u = ± √(9/2)

Отже, маємо два розв'язки: (x, y) = (± √(9/2), ± √(3/2))

Answer 2

Щоб розв'язати дану систему рівнянь, можна скористатися методом підстановки або методом елімінації.

Метод підстановки:

1. Виразимо х з першого рівняння: х = (18 - 3ху) / у.
2. Підставимо це значення х у друге рівняння: 3у^2 + ((18 - 3ху) / у)у = 6.
3. Скоротимо у в другому рівнянні: 3у(6 - ху) = 6у.
4. Розкриємо дужки: 18у - 3у^2х = 6у.
5. Скоротимо на 3у: 6у - у^2х = 2у.
6. Поділимо на у: 6 - ух = 2.
7. Виразимо х: ух = 6 - 2.
8. Знаходимо значення х: х = (6 - 2) / у.

Тепер підставимо вираз х у перше рівняння: (6 - 2) / у^2 + 3(6 - 2) / у = 18.

Отримаємо: 4/у^2 + 12/у - 18 = 0.

Метод елімінації:

1. Помножимо перше рівняння на 3: 3х^2 + 9ху = 54.
2. Помножимо друге рівняння на х: 3ху^2 + х^2у = 6х.
3. Віднімемо друге рівняння від першого: 3х^2 + 9ху - (3ху^2 + х^2у) = 54 - 6х.
4. Скоротимо: 3х^2 + 9ху - 3ху^2 - х^2у = 54 - 6х.
5. Перегрупуємо терміни: 3х^2 - 3ху^2 + 9ху - х^2у = 54 - 6х.
6. Факторизуємо: 3(х^2 - ху^2 + 3ху - х^2у) = 54 - 6х.
7. Скоротимо на 3: х^2 - ху^2 + 3ху - х^2у = 18 - 2х.
8. Переставимо терміни: х^2 - х^2у + 3ху - ху^2 = 18 - 2х.
9. Розкриємо дужки: х^2 - х^2у + 3ху - ху^2 = 18 - 2х.
10. Скоротимо: 0 = 18 - 2х.

Отрим