Question

Найдите все значения а, при которых уравнение (4-a)x^2 - 6ax + 3 = 0 имеет один корень.

Answer 1

Для того чтобы квадратное уравнение имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b, c - коэффициенты квадратного уравнения.

Применяя эту формулу к уравнению (4-a)x^2 - 6ax + 3 = 0, получаем:

D = (-6a)^2 - 4(4-a)(3) = 36a^2 - 48a + 12

Чтобы уравнение имело только один корень, необходимо, чтобы дискриминант D был равен нулю:

36a^2 - 48a + 12 = 0

Делая общий множитель 12, получаем:

3a^2 - 4a + 1 = 0

Решая это квадратное уравнение, находим два значения a:

a1 = 1/3

a2 = 1

Итак, уравнение (4-a)x^2 - 6ax + 3 = 0 имеет только один корень при a = 1/3 и при a = 1.

Answer 2

Чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения ax^2 + bx + c = 0.

В данном уравнении коэффициенты a = (4-a), b = -6a и c = 3. Подставим их в формулу дискриминанта:

D = (-6a)^2 - 4(4-a)(3)

Раскроем скобки:

D = 36a^2 - 4(12 - 3a) = 36a^2 - (48 - 12a) = 36a^2 - 48 + 12a = 36a^2 + 12a - 48

Теперь приравняем D к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

36a^2 + 12a - 48 = 0

Для решения этого уравнения можно поделить все его коэффициенты на 12, чтобы упростить выражение:

3a^2 + a - 4 = 0

Теперь решим полученное уравнение с помощью квадратного трехчлена:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = (-(1) ± √((1)^2 - 4(3)(-4))) / (2(3))

a = (-1 ± √(1 + 48)) / 6

a = (-1 ± √49) / 6

a = (-1 ± 7) / 6

Таким образом, получаем два значения для a:

a1 = (-1 + 7) / 6 = 6/6 = 1

a2 = (-1 - 7) / 6 = -8/6 = -4/3

Итак, уравнение имеет один корень при a = 1 или a = -4/3.