Question

Given 3x+y = 12, find the maximum value of x^2 −y^2

Answer 1

Ответ:  max( x²- y²) = 18   при  3х+у=12  .

Переменные  х  и  у  связаны соотношением   3х+у=12  .

Найти максимальное значение выражения   x²-y²  .

$\bf 3x+y=12\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y=12-3x\\\\x^2-y^2=x^2-(12-3x)^2=x^2-144+72x-9x^2=-8x^2+72x-144$  

Найдём максимальное значение выражения  $\bf z=-8x^2+72x-144$  .

$\bf z=-8(x^2-9x+18)\ \ ,\ \ \ z=-8\, (x-6)(x-3)$

$\bf z'=-8\cdot 2x+72=-8\cdot (2x-9)=0\ \ ,\ \ 2x=9\ \ ,\ \ x=4,5$    

В стационарной точке функция  z  будет принимать максимальное значение, так как при переходе через  х = 4,5 знак производной z' меняется с плюса на минус :    + + + + + [4,5 ] - - - - -    $\bf x_{max}=4,5$  

Подставим значение  х = 4,5 в выражение .

$\bf z(4,5)=-8\, (4,5-6)(4,5-3)=-8\cdot (-1,5)\cdot 1,5=18\\\\(x^2-y^2)\Big|_{x=4,5}=18$              

Answer 2

To find the maximum value of the expression x^2 - y^2, we need to optimize it with respect to the given constraint 3x + y = 12.

Let's solve the constraint equation for y: 3x + y = 12 y = 12 - 3x

Now, substitute this expression for y in the expression for x^2 - y^2: x^2 - y^2 = x^2 - (12 - 3x)^2 = x^2 - (144 - 72x + 9x^2) = x^2 - 144 + 72x - 9x^2 = -8x^2 + 72x - 144

To find the maximum value of this quadratic function, we can take the derivative with respect to x and set it equal to zero:

d/dx (-8x^2 + 72x - 144) = 0 -16x + 72 = 0 16x = 72 x = 72/16 x = 4.5

Now, substitute the value of x back into the constraint equation to find y: 3x + y = 12 3(4.5) + y = 12 13.5 + y = 12 y = 12 - 13.5 y = -1.5

So, the values of x and y that satisfy the constraint equation are x = 4.5 and y = -1.5.

Finally, substitute these values of x and y back into the expression x^2 - y^2 to find the maximum value: x^2 - y^2 = (4.5)^2 - (-1.5)^2 = 20.25 - 2.25 = 18

Therefore, the maximum value of x^2 - y^2 is 18 when x = 4.5 and y = -1.5.