Question

Винни выписал на доске многочлен f(x) c целыми коэффициентами и сказал "Сегодня у моего друга Пяточка день рождение.Если его возраст А подставить в данный многочлен вместо х, то получится равенство f(A)=A". Винни пух заметил также, что f(0)=P, где Р- простое число, больше А. Сколько лет Пятачку?

Answer 1

$f(x)=a_ox^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_o$
$f(A)=a_o*A^n+a_1*A^{n-1}+...+a_{n-1}*A+a_o=A$
$f(0)=a_o*0^n+a_1*0^{n-1}+...+a_{n-1}*0+a_o=a_0=P>A$
откуда
$f(A)-f(0)=P-A=a_o(A^n-0^n)+a_1(A^{n-1}-0^{n-1})+...+a_{n-1}(A-0)=\\\\a_o*A^n+a_1*A^{n-1}+...+a_{n-1}*A$
откуда
$P=a_o*A^n+a_1*A^{n-1}+...+a_{n-1}*A+A$
что означает что Р кратно числу А
так как Р простое число (натуральное) то оно делится только на число Р и на 1,
так как число Р больше числа А, то число А=1
т.е. Пятачку один год