Question

Найти интеграл dx/3+tg x

Answer 1

∫ dx/(3+tgx)   =
             Подстановка: t = tgx, dt=dx/(cos²x) = (tg²x+1)dx,  dx = dt/(t²+1)
                                        х= arctgt
=∫ dt / ((t²+1)*(3+t)=
                 Преобразование:
                         1/((t²+1)*(3+t)) = (0,3 - 0,1*t) /(t² +1) +0,1/(3+t)
= 0,3 ∫ dt/(t²+1)dt  -  0,05 ∫ d(t²)/ (t²+1) +0,1 ∫ (3+t)dt
а дальше -  расписать табличные интегралы и вернуться  к Х

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫(u * v) dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx

где u и v - функции, u' - производная функции u по x.

В данном случае, мы можем выбрать:

u = x/3 => u' = 1/3 v = ln|cos(x)| => dv = -tg(x)dx

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫(dx/3 + tg(x)) dx = (x/3) * ∫(ln|cos(x)| dx) - ∫((1/3) * ∫(ln|cos(x)| dx) dx)

Теперь давайте рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

Первый интеграл: ∫(ln|cos(x)| dx)

Для этого интеграла нет элементарной функции, поэтому мы оставим его в таком виде.

Второй интеграл: ∫((1/3) * ∫(ln|cos(x)| dx) dx)

Для второго интеграла мы можем снова использовать интегрирование по частям. Выберем:

u = (1/3) * ∫(ln|cos(x)| dx) => u' = ln|cos(x)| v = x => dv = dx

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫((1/3) * ∫(ln|cos(x)| dx) dx) = (1/3) * (x * ∫(ln|cos(x)| dx) - ∫(x * ln|cos(x)| dx))

Опять же, первый интеграл в этом выражении не имеет элементарного решения, поэтому оставим его без изменений.

Таким образом, окончательное выражение для данного интеграла будет:

∫(dx/3 + tg(x)) dx = (x/3) * ∫(ln|cos(x)| dx) - (1/3) * (x * ∫(ln|cos(x)| dx) - ∫(x * ln|cos(x)| dx)

Помимо этого, есть возможность численного интегрирования, чтобы получить приближенное значение интеграла, если требуется.