Question

Найдите производную f(x)=cosx, x0=п/2

Answer 1

$f(x)=Cosx\\\\f'(x)=(Cosx)'=-Sinx\\\\f'(x_{0})=f'(\frac{\pi }{2})=-Sin\frac{\pi }{2}=\boxed{-1}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = cos(x) в точке x₀ = π/2, мы можем использовать определение производной.

Производная функции f(x) определяется как предел отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю. Формально это выражается следующим образом:

f'(x₀) = lim(δx → 0) [f(x₀ + δx) - f(x₀)] / δx

В нашем случае, x₀ = π/2. Подставим значения в формулу:

f'(π/2) = lim(δx → 0) [f(π/2 + δx) - f(π/2)] / δx

Теперь подставим f(x) = cos(x):

f'(π/2) = lim(δx → 0) [cos(π/2 + δx) - cos(π/2)] / δx

Мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(π/2 + δx) = -sin(δx) и упростить выражение:

f'(π/2) = lim(δx → 0) [-sin(δx) - 0] / δx

Теперь рассмотрим предел этого выражения при δx стремящемся к нулю:

f'(π/2) = lim(δx → 0) -sin(δx) / δx

Этот предел известен и равен -1:

f'(π/2) = -1

Таким образом, производная функции f(x) = cos(x) в точке x₀ = π/2 равна -1.