Question

Разложите по формуле бинома Ньютона: а) (x-1)^5; б)(x+2)^4

Answer 1

$(x-1)^5=x^5-\frac{5!}{(5-1)!*1!}*x^4+\frac{5!}{(5-2)!*2!}*x^3-\frac{5!}{(5-3)!*3!}*x^2+\frac{5!}{(5-4)!*4!}*x-1=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1;\\ (x+2)^4=x^4+\frac{4!}{(4-1)!*1!}*x^3*2+\frac{4!}{(4-2)!*2!}*x^2*2^2+\frac{4!}{(4-3)!*3!}*x*2^3+2^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$

Answer 2

Для разложения выражения по формуле бинома Ньютона, мы используем сочетания и понижаем степень каждого члена постепенно. Формула бинома Ньютона имеет вид:

(x + y)^n = C(n, 0) * x^n * y^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * y^1 + C(n, 2) * x^(n-2) * y^2 + ... + C(n, n-1) * x^1 * y^(n-1) + C(n, n) * x^0 * y^n,

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k" (n choose k), равный n! / (k! * (n-k)!).

а) (x - 1)^5:

n = 5 x = x y = -1

(x - 1)^5 = C(5, 0) * x^5 * (-1)^0 + C(5, 1) * x^4 * (-1)^1 + C(5, 2) * x^3 * (-1)^2 + C(5, 3) * x^2 * (-1)^3 + C(5, 4) * x^1 * (-1)^4 + C(5, 5) * x^0 * (-1)^5

Вычислим каждый биномиальный коэффициент:

C(5, 0) = 5! / (0! * (5-0)!) = 1 C(5, 1) = 5! / (1! * (5-1)!) = 5 C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 10 C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 C(5, 4) = 5! / (4! * (5-4)!) = 5 C(5, 5) = 5! / (5! * (5-5)!) = 1

Подставим значения и упростим:

(x - 1)^5 = 1 * x^5 * 1 + 5 * x^4 * (-1) + 10 * x^3 * 1 + 10 * x^2 * (-1) + 5 * x^1 * 1 + 1 * x^0 * (-1)

(x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1

б) (x + 2)^4:

n = 4 x = x y = 2

(x + 2)^4 = C(4, 0) * x^4 * 2^0 + C(4, 1) * x^3 * 2^1 + C(4, 2) * x^2 * 2^2 + C(4, 3) * x^1 * 2^3 + C(4, 4) * x^0 * 2^4

Вычислим каждый биномиальный коэффи