Question

Докажите что при любом целом n значение выражения (7n-2)^2-(2n-7)^2 делится без остатка на 5 ; на 9.

Answer 1

(7n-2)²-(2n-7)²=(7n-2-2n+7)(7n-2+2n-7)=(5n+5)(9n-9)=5(n+1)*9(n-1)
Так как в выражении есть множители 5 и 9, то все и все выражение делится без остатка на 5 и на 9. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем, что данное выражение делится на 5 при любом целом n.

Рассмотрим выражение (7n-2)^2 - (2n-7)^2:

(7n-2)^2 - (2n-7)^2 = (49n^2 - 28n + 4) - (4n^2 - 28n + 49) = 49n^2 - 28n + 4 - 4n^2 + 28n - 49 = 45n^2 - 45 = 45(n^2 - 1)

Теперь давайте рассмотрим выражение 45(n^2 - 1). Заметим, что (n^2 - 1) является разностью квадратов и может быть факторизовано следующим образом:

n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

45(n^2 - 1) = 45(n - 1)(n + 1)

Таким образом, мы получили, что (7n-2)^2 - (2n-7)^2 равно 45, умноженному на (n - 1)(n + 1). Мы знаем, что 45 делится на 5 без остатка, поэтому нам остается проверить, делится ли (n - 1)(n + 1) на 5 при любом целом n.

Посмотрим на два возможных случая:

1. n делится на 5. В этом случае (n - 1)(n + 1) также будет делиться на 5, потому что разность двух чисел, кратных 5, будет делиться на 5.

2. n не делится на 5. В этом случае мы можем представить n в виде n = 5k + r, где k - целое число, а r - остаток от деления n на 5 (r принадлежит множеству {1, 2, 3, 4}). Тогда (n - 1)(n + 1) будет равно (5k + r - 1)(5k + r + 1). Раскрыв скобки, получим:

(5k + r - 1)(5k + r + 1) = (25k^2 + 5kr + rk + r^2 - 5k - r + 5k + r - 1) = 25k^2 + 5kr + rk + r^2 - 1

Заметим, что каждый из членов 25k^2, 5kr, rk и r^2 делится на 5 без остатка. Поэтому (n - 1)(n + 1) также делится на 5 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что при любом целом n выражение (7n-2)^2 - (2n-7)^2 делится