Question

Школьники занимаются прополкой огорода, который находится на пришкольном участке. Работают они с разной скоростью, а некоторые из них, как показывает практика, даже мешают общей работе, просто закапывая сорняки или перебрасывая их на участок соседа... Вчерашняя работа показала, что Петя и Алина выпалывают гряду за 33 мин, Алина и Серёжа выпалывают её же за 66 мин, Серёжа и Петя — за 99 мин. За сколько минут выполнят эту работу все вместе? Ответ: втроём дети выполнят работу за мин.

Answer 1

Ответ:  36 мин .

Производительность Пети = х грядки в минуту, производительность Алины= у грядки в минуту, производительность Серёжи= z грядки в минуту,

Cовместная производительность Пети и Алины = 1/33 грядки в минуту, совместная производительность Алины и Серёжи = 1/66 грядки в минуту,  совместная производительность Серёжи и Васи = 1/99 грядки в минуту. Тогда получим систему  

$\left\{\begin{array}{l}x+y=\dfrac{1}{33}\\y+z=\dfrac{1}Х66}\\x+z=\dfrac{1}{99}\end{array}\right$

Сложим все три уравнения, получим

$2(x+y+z)=\dfrac{1}{33}+\dfrac{1}{66}+\dfrac{1}{99}\ \ ,\ \ \ 2(x+y+z)=\dfrac{11}{198}\ \ ,\\\\\\x+y+z=\dfrac{11}{396}\ \ \ ,\ \ \ x+y+z=\dfrac{1}{36}$

Значит прополку одной грядки все втроём ребята выполнят за 36 мин.

Answer 2

Пусть Петя выполняет работу за P минут, Алина за A минут, а Серёжа за С минут.

Из условия задачи у нас есть следующая информация: Петя и Алина выпалывают гряду за 33 минут, то есть их суммарная скорость равна 1/33 гряды в минуту: 1/P + 1/A = 1/33 ...........(1)

Алина и Серёжа выпалывают гряду за 66 минут, то есть их суммарная скорость равна 1/66 гряды в минуту: 1/A + 1/S = 1/66 ...........(2)

Серёжа и Петя выпалывают гряду за 99 минут, то есть их суммарная скорость равна 1/99 гряды в минуту: 1/S + 1/P = 1/99 ...........(3)

Мы должны найти общую скорость работы всех трёх детей. Общая скорость работы равна сумме их скоростей: 1/P + 1/A + 1/S = 1/X, где X - время, за которое все трое выполняют работу.

Теперь решим систему уравнений (1), (2) и (3) относительно P, A и S:

Из уравнения (1) выразим P: 1/P = 1/33 - 1/A ...........(4)

Из уравнения (2) выразим S: 1/S = 1/66 - 1/A ...........(5)

Подставим (4) и (5) в уравнение (3): 1/(1/33 - 1/A) + 1/A = 1/99

Упростим выражение: 1/(1/33 - 1/A) = 1/99 - 1/A

Обратим обе части равенства: 1/33 - 1/A = 1/A - 1/99

Упростим выражение: 2/A = 1/33 + 1/99

Найдем общий знаменатель: 2/A = (3 + 1)/99

Упростим выражение: 2/A = 4/99

Умножим обе части равенства на A: 2 = 4A/99

Умножим обе части равенства на 99: 198 = 4A

Разделим обе части равенства на 4: A = 198/4 = 49.5

Теперь подставим значение A в уравнения (4) или (5), чтобы найти значение P или S (можно использовать любое уравнение). Допустим, мы подставим в уравнение (4):

1/P = 1/33 - 1/49.5

Упростим выражение: 1/P = (49.5 - 33) / (33