Question

Решить неравенство: (x^2-4)/(x^2-9) ≥ 0

Answer 1

$\dfrac{x^2-4}{x^2-9} \ge 0;\quad \dfrac{x^2-2^2}{x^2-3^2} \ge 0\\\\\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Отмечаем на координатной прямой точки, в которых знаменатель и числитель обращаются в ноль. И выкалываем те, что из знаменателя. Мы получили 5 интервала. Перед дробью знак положительный и все множители имею пол. знак при х, поэтому на правом интервале ставим "плюс", далее чередуем знак через каждую отмеченную точку (все множители в нч степени - 1). Нас интересует, когда больше или равно, поэтому выбираем интервалы с плюсом, учитывая границы.

$\left[\begin{array}xx3\end{array}\right.$

Ответ: x ∈ (-∞;-3) ∪ [-2;2] ∪ (3;+∞).

В решении использовалась формула сокращённого умножения: a²-b²=(a-b)(a+b).

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы можем разложить выражение на множители и исследовать знаки в каждой области.

1. Найдем корни уравнения в числителе и знаменателе: x^2 - 4 = 0 => (x - 2)(x + 2) = 0 => x = 2 или x = -2 x^2 - 9 = 0 => (x - 3)(x + 3) = 0 => x = 3 или x = -3

2. Построим таблицу знаков, учитывая найденные корни:

   Interval | (x - 2) | (x + 2) | (x - 3) | (x + 3) | (x^2-4)/(x^2-9)

   (-∞, -3) | - | - | - | - | + (-3, -2) | - | - | - | + | - (-2, 2) | - | + | - | + | + (2, 3) | + | + | - | + | - (3, ∞) | + | + | + | + | +

   Знак "+" означает положительное значение, а знак "-" - отрицательное значение.

3. Неравенство (x^2-4)/(x^2-9) ≥ 0 выполняется в интервалах, где результат равен или больше нуля. Исходя из таблицы знаков, эти интервалы: (-∞, -3) объединённое с (-2, 2) объединённое с (3, ∞).

Таким образом, решением неравенства (x^2-4)/(x^2-9) ≥ 0 является множество значений x, которые принадлежат интервалам: (-∞, -3) объединённое с (-2, 2) объединённое с (3, ∞).