Question

Для функций f(x)=4/x^+7 найдите первообразную которая проходит через точку А (2.8)​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{4}{x^2}+7\\\\\\F(x)=\int \Big(\dfrac{4}{x^2}+7\Big)\, dx=-\frac{4}{x}+7x+C\ ;\\\\\\A(2;8):\ \ -\frac{4}{2}+7\cdot 2+C=8\ \ ,\ \ -2+14+C=8\ \ ,\ \ 12+C=8\ \ ,\ \ C=-4\\\\\\F(x)\Big|_{A}=-\frac{4}{x}+7x-4$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 4/x^2 + 7, проходящую через точку A (2, 8), мы будем использовать интеграл.

Интегрируя функцию f(x), получим:

F(x) = ∫ (4/x^2 + 7) dx

Разделим интеграл на две части:

F(x) = ∫ (4/x^2) dx + ∫ 7 dx

Вычислим каждую часть по отдельности:

1. ∫ (4/x^2) dx: Мы можем записать 4/x^2 как 4x^(-2). Тогда интеграл будет выглядеть следующим образом: ∫ (4x^(-2)) dx = 4 ∫ x^(-2) dx

   Используя правило степенной функции для интеграла, получим: 4 ∫ x^(-2) dx = 4 * (x^(-2 + 1))/( -2 + 1) + C1 = -4x^(-1) + C1

2. ∫ 7 dx: Так как константа 7 является константой, ее интеграл равен 7x + C2.

Теперь объединим две части, добавив константу интегрирования: F(x) = -4x^(-1) + C1 + 7x + C2

Чтобы найти значения констант C1 и C2, воспользуемся условием, что первообразная функции должна проходить через точку A (2, 8).

Подставим x = 2 в F(x) и приравняем его к 8: 8 = -4(2)^(-1) + C1 + 7(2) + C2

Раскроем скобки и упростим выражение: 8 = -4(1/2) + C1 + 14 + C2 8 = -2 + C1 + 14 + C2 8 = 12 + C1 + C2

Теперь сгруппируем константы: 8 = (12 + C1 + C2)

Вычтем 12 с обеих сторон: 8 - 12 = C1 + C2 -4 = C1 + C2

Таким образом, мы получили уравнение для связи констант C1 и C2.

Итак, первообразная функции f(x) = 4/x^2 + 7, проходящая через точку A (2, 8), имеет вид: F(x) = -4x^(-1) - 4 + 7x + C

где C = C1 + C2 -4.